血样分组检验的数学模型.docVIP

No.2韶关学院学生数学建模论文集第二期（2003年8月）

第二期（2003年8月）韶关学院学生数学建模论文集No.2

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血样分组检验的数学模型

祝文康陈晔何荣坚

1.韶关学院2001级数学与应用数学本科1班,广东韶关512005;

2.韶关学院2002级计算机科学技术本科3班,广东韶关512005

[摘要]：本文为了解决减少血样检验次数这个实际问题,通过把人群分为若干组,每组若干人,易得到混合血样检验次数、阳性组的概率,进而引入阳性组数的平均值,从而得到平均总检验次数,最后通过一个人的平均检验次数的一元函数,把问题归结为一个关于每组人数k的一元函数E(k),求解得;通过计算,得当p0.307时不应分组;将第1次检验的每个阳性组再次分m组,通过建立一个关于k,m的二元函数E(k,m),通过求导得稳定点函数,解方程组得:.

关键词：先验概率；平均总检验次数；血样的阴阳性；组的基数

问题的提出

在一个很大的人群中通过血样检验普查某种疾病,假定血样为阳性的先验概率为p(通常p很小).为减少检验次数,将人群分组,一组人的血样混合在一起化验.当某组的混合血样呈阴性时,即可不经检验就判定该组每个人的血样都为阴性;而当某组的混合血样呈阳性时,则可判定该组至少有一人血样为阳性,于是需要对这组的每个人再作检验.

(1)、当p固定时(如0.01%,…,0.1%,…,1%)如何分组,即多少人一组,可使平均总检验次数最少,与不分组的情况比较.

(2)、当p多大时不应分组检验.

(3)、当p固定时如何进行二次分组(即把混合血样呈阳性的组再分成小组检验,重复一次分组时的程序).

(4)、讨论其它分组方式,如二分法(人群一分为二,阳性组再一分为二,继续下去)、三分法等.

模型假设与符号约定

2.1血样检查到为阳性的则患有某种疾病,血样呈阴性时的情况为正常

2.2血样检验时仅会出现阴性、阳性两种情况,除此之外无其它情况出现,检验血样的药剂灵敏度很高，不会因为血样组数的增大而受影响.

2.3阳性血样与阳性血样混合也为阳性

2.4阳性血样与阴性血样混合也为阳性

2.5阴性血样与阴性血样混合为阴性

n人群总数

p先验概率

血样阴性的概率q=1-p

血样检验为阳性（患有某种疾病）的人数为:z=np

发生概率:

检查次数:

平均总检验次数:

问题的分析

根据题意,由已知的先验概率是一个很小的数值,我们大可不必要一个一个地检验,为减少检验次数,我们通过一次分组,从而可使检验次数大大减少;然而通过再一次分组,可使结果进一步优化,从而达到一个更佳的结果.

模型建立与求解

设总人数为n,已知每人血样阳性的先验概率为p,记血样阴性的概率q=1-p

4.1模型一

设分x组,每组k人（n很大,x能整除n,k=n/x）,混合血样检验x次.阳性组的概率为,分组时是随机的,而且每个组的血样为阳性的机率是均等的,阳性组数的平均值为,这些组的成员需逐一检验,平均次数为,所以平均检验次数,一个人的平均检验次数为N/n,记作:

(1)

问题是给定p求k使E(k)最小.

p很小时利用可得

(2)

显然时E(k)最小.因为K需为整数,所以应取和,比较E（K）,得到K的最优值,见表1.

P

0.01%

0.1%

1%

2%

5%

K

100

32

10

8

5

E(k)

0.020

0.063

0.196

0.274

0.426

表1一次分组检验结果

图一

然而我们通过对阳性组人群进行再次分组（即对检验人群进行二次分组）,从而得到一个关于两次分组人数二元函数,进而得到更为优化的数学模型.

最后,我们引入平均概率模型,再把血样检验中出现的可能性细化,得到当血样检验为阳性的人数等于分组后每一组的人数时,通过这样的分组模型可以使检验次数达到最优,但是我们未能给出确实的理论证明.

【参考文献】

[1]姜启源,谢金星,叶俊数学模型(第三版)．高等教育出版社．2003.2

[2]姜启源等数学模型(第三版)习题参考解答．高等教育出版社．2003.2

[3]王沫然MATLAB6.0与科学计算．电子工业出版社．2001.9

[4]魏宗舒概率论与数理统计教程．高等教育出版社.1982.3

附录【1】

假定阳性血样的人群有6个小组时的Matlab的程序如下:

clear;clc;

counter=0;

z=input(请输