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数学绝对值应用题解题技巧大全

绝对值，这个看似简单的数学概念，在实际应用题中却常常让不少同学感到头疼。它不像普通的加减乘除那样直观，其“非负性”的特性以及在不同情境下的灵活应用，往往成为解题的关键。本文将作为一位经验丰富的解题者，与你一同深入探讨绝对值应用题的解题技巧，希望能帮助你拨云见日，轻松应对这类问题。

一、精准把握题意，明确绝对值的“出场”意义

解决任何应用题的第一步，也是最核心的一步，永远是审清题意。对于绝对值应用题而言，尤其要注意题目中哪些信息暗示了绝对值的存在。

1.关键词识别法：

*“距离”：这是绝对值最直接、最常见的应用场景。无论是数轴上两点间的距离，还是实际生活中路程的远近（不考虑方向时），都可以用绝对值表示。例如，“点A到点B的距离是5”，若A、B在数轴上的坐标分别为x和a，则可表示为|x-a|=5。

*“相差”、“误差”、“偏离程度”：当题目涉及两个量之间的比较，且不考虑谁大谁小，只关注其差异的量值时；或者描述某个量与标准值之间的允许偏差范围时，绝对值大有用武之地。例如，“零件的实际尺寸与标准尺寸相差不超过某个值”，即可表示为|实际尺寸-标准尺寸|≤允许偏差。

*“非负性”暗示：若题目中某个量明确要求为非负数，或者某个表达式的结果必须是非负的，这可能与绝对值有关，因为绝对值本身就具有非负性。

2.明确数量关系：在通读题目后，要梳理清楚已知条件是什么，未知量是什么，它们之间存在怎样的等量关系或不等关系。绝对值符号应该包裹哪些量，这是建立正确数学模型的前提。

二、去绝对值符号：“分类讨论”是核心利器

一旦根据题意列出了含有绝对值的方程或不等式，接下来的关键步骤就是去掉绝对值符号，将其转化为我们熟悉的常规方程或不等式。这一步的核心思想是“分类讨论”，依据就是绝对值的定义：

a

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1.单一绝对值符号的处理：

*对于|A|=B（B≥0）的形式，直接转化为A=B或A=-B。需要特别注意的是，B必须是非负的，若B0，则方程无解（在实数范围内）。

*对于|A|B（B0）的形式，转化为-BAB。

*对于|A|B（B0）的形式，转化为AB或A-B。

*若B为含有未知数的表达式，则在应用上述法则时，同样需要考虑B的正负性对解集的影响，有时可能需要进行更细致的分类讨论。

2.多个绝对值符号的处理：

*“零点分段法”：这是解决含有多个绝对值符号问题的通用且有效的方法。

*找零点：令每个绝对值符号内的代数式等于零，求出对应的未知数的值，这些值就是“零点”。

*分区间：将这些零点按从小到大的顺序在数轴上排列，它们将数轴分成若干个区间。

*定正负，去符号：在每个区间内，根据绝对值符号内代数式的正负性，去掉绝对值符号，将原表达式转化为不含绝对值的代数式。

*求解并检验：在每个区间内求解转化后的方程或不等式，得到的解需要检验是否在该区间内，不在区间内的解要舍去。最后，将所有符合条件的解合并。

三、建立方程或不等式模型：“翻译”文字信息

应用题的本质是将文字语言“翻译”成数学语言。在理解题意、明确绝对值的应用场景后，就要着手建立含有绝对值的方程或不等式模型。

1.设元：根据问题设出合适的未知数。未知数的设定要简洁明了，能准确反映题目中的未知量。

2.列式：根据题目中描述的数量关系，特别是涉及到距离、差、范围等关键词时，准确地引入绝对值符号，列出方程或不等式。例如：

*“A地与B地相距10千米”，若设A地坐标为x，B地坐标为y，则|x-y|=10。

*“某数的绝对值等于5”，设该数为x，则|x|=5。

*“x与2的差的绝对值不大于3”，则|x-2|≤3。

四、求解与检验：“严谨细致”是保障

在正确列出含绝对值的方程或不等式后，按照第二部分所述的方法去掉绝对值符号，转化为常规方程或不等式进行求解。求解完毕后，检验是必不可少的环节：

1.代入检验：将求得的解代入原含绝对值的方程或不等式中，看是否成立。

2.符合题意：解出的结果必须符合实际问题的背景，例如人数不能为负数，时间不能为负等。即使数学上是方程的解，但不符合实际意义，也要舍去。

五、实战技巧与经验总结

1.数形结合：绝对值的几何意义是数轴上点到原点的距离，或两点间的距离。在解决与距离相关的绝对值问题时，借助数轴进行分析，往往能使问题变得直观易懂，帮助快速找到解题思路。

2.特殊值法：对于一些选择填空题，可以尝试代入符合条件的特殊值，通过检验特殊值来排除错误选项或初步验证自己的思路。但此法在解答题中需慎用，主要用于辅助理解。

3.多做归纳：绝对值应用题的类型虽