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初中数学分式方程专题训练

分式方程作为初中代数的重要组成部分，不仅是对整式方程知识的延伸，更是培养同学们代数变形能力和逻辑思维能力的关键内容。掌握分式方程的解法及其应用，对于后续学习更复杂的数学知识具有深远的意义。本文将从分式方程的基本概念入手，系统梳理其解法步骤、易错点分析，并通过典型例题与练习题，帮助同学们扎实掌握这一专题。

一、分式方程的“庐山真面目”——概念剖析

我们知道，分母中含有未知数的方程叫做分式方程。这是分式方程区别于整式方程的最显著特征。例如，`1/x=2`，`(x+1)/(x-1)=3`等都是分式方程，而像`x2+2x-3=0`这样分母中不含有未知数的方程则是整式方程。

理解分式方程的概念，首先要明确其构成要素：方程、分母、未知数。三者缺一不可。判断一个方程是否为分式方程，只需看其分母中是否含有未知数即可，至于分子中是否有未知数，并不影响其分式方程的“身份”。

二、解分式方程的“通关秘籍”——解法步骤与典例精析

解分式方程的核心思想是“转化”，即将分式方程通过一定的变形转化为我们熟悉的整式方程来求解。但这个转化过程需要特别注意可能产生的“增根”问题。

（一）解法步骤详解

1.去分母，化分式方程为整式方程：

这是解分式方程的关键一步。具体做法是：找出方程中所有分式的最简公分母，然后在方程两边同时乘以这个最简公分母，约去分母，从而将分式方程转化为整式方程。

*找最简公分母的方法：

*取各分母系数的最小公倍数；

*凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；

*同底数幂取次数最高的。

2.解所得的整式方程：

按照解整式方程（如一元一次方程、一元二次方程）的方法进行求解。

3.验根：

这是解分式方程必不可少的一步！因为在去分母的过程中，方程两边同乘的最简公分母可能为零，从而导致整式方程的解不一定是原分式方程的解（即可能产生增根）。

*验根的方法：

将整式方程的解代入原分式方程的最简公分母中，如果最简公分母的值不为零，则这个解是原分式方程的解；如果最简公分母的值为零，则这个解就是原分式方程的增根，原分式方程无解。

*温馨提示：也可以将解代入原分式方程进行检验，但代入最简公分母更为简便快捷。

（二）典型例题精析

例1：解方程`1/x+1/(x+1)=1`

分析与解答：

1.确定最简公分母：方程中两个分式的分母分别是`x`和`x+1`，它们没有公因式，所以最简公分母为`x(x+1)`。

2.去分母：方程两边同时乘以`x(x+1)`，得：

`(x+1)+x=x(x+1)`

3.解整式方程：

展开右边：`x+1+x=x2+x`

移项、合并同类项：`x2-x-1=0`

（此处若为一元二次方程，可使用求根公式或因式分解法求解。若为一元一次方程，则直接求解。此例为一元二次方程，其解为`x=[1±√5]/2`，为简化，我们换一个能得到整数解的例子）

例2：解方程`(x-2)/(x+2)-1=16/(x2-4)`

分析与解答：

1.观察分母：`x+2`，以及`x2-4`可分解为`(x+2)(x-2)`。因此，最简公分母为`(x+2)(x-2)`。

2.去分母：方程两边同时乘以`(x+2)(x-2)`，得：

`(x-2)2-(x+2)(x-2)=16`

3.解整式方程：

展开：`(x2-4x+4)-(x2-4)=16`

去括号：`x2-4x+4-x2+4=16`

合并同类项：`-4x+8=16`

移项：`-4x=8`

解得：`x=-2`

4.验根：

将`x=-2`代入最简公分母`(x+2)(x-2)`，得`(-2+2)(-2-2)=0×(-4)=0`。

因为最简公分母为零，所以`x=-2`是原分式方程的增根，原分式方程无解。

（二）常见错误警示

*去分母时漏乘不含分母的项：这是初学者最容易犯的错误之一。方程两边的每一项都要乘以最简公分母。

*忽视分数线的括号作用：当分子是多项式时，去分母后，分子需要整体加上括号，再去括号，避免符号错误。

*忘记验根：认为解出整式方程的解就是分式方程的解，忽略了增根的可能性。

*化简不彻底：得到整式方程的解后，未检查是否为最简形式或是否符合实际意义（在应用题中）。

三、分式方程的“用武之地”——实际应用与解题策略

分式方程在解决实际问题中有着广泛的应用，如行程问题、工程问题、利润问题、浓度问题等。解决这类问题的关键是找到等量关系，合理设元，列出分式方程。

（一）解题步骤

1.审清题意，找出