专题03 玩转抽象函数问题的八大题型（高效培优专项训练）数学北师大版2019必修第一册（解析版）.pdfVIP

专题03玩转抽象函数问题的八大题型

题型一：抽象函数的定义域4

题型二：抽象函数求值6

题型三：抽象函数的值域9

题型四：抽象函数的解析式11

题型五：抽象函数的单调性14

题型六：抽象函数的奇偶性17

题型七：抽象函数的对称性22

题型八：抽象函数的周期性（拓展）25

【知识点综述】

1.抽象函数的概念

所谓抽象函数是指用函数符号（如f(x)表示），却没有给出具体解析式的函数.

2.周期函数（拓展）

(1)定义：设函数yf(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对于任意xD，都有

f(xT)f(x)恒成立，那么就称函数yf(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期.

(2)最小正周期：若函数存在周期，则它有无数个周期，所有周期的绝对值中最小的那个正数（如果存

在），叫做这个函数的最小正周期.

3．抽象函数的性质

(1)定义域：求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则.在同一对应法则的作用下，不论接受法则

的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内.

①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．

②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．

(2)周期性（拓展）



fxafxTafxafxT2a

；；

k



fxaT2a；（为常数）；fxafxbTab

k



fx

(3)对称性：

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对称轴：或者关于xa对称；

faxfaxf2axfxfx



对称中心：faxfax2b或者f2axfx2bfx关于a,b对称；

xa

特别地，如果fx同时关于对称，又关于b,c对称，则fx的周期Tab

4.单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题

(1)在上是奇函数，且单调递增若解不等式，则有

fxRfxfxfx0

12

xx0；

12

