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三角形全等条件与证明题汇编

在平面几何的学习中，三角形全等是一个核心概念，它不仅是后续学习更复杂几何知识的基础，也在解决实际问题中有着广泛的应用。掌握三角形全等的条件及其证明方法，对于培养逻辑推理能力至关重要。本文将系统梳理三角形全等的判定条件，并辅以典型证明题示例，旨在帮助读者深入理解并灵活运用这些知识。

一、三角形全等的判定条件

判定两个三角形全等，并非需要其三边三角都对应相等。经过长期的实践与总结，我们得到以下几个基本的判定公理与定理：

1.边边边（SSS）公理

如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

简记为“边边边”或“SSS”。

这是因为三角形具有稳定性，三边长度确定后，其形状和大小也就唯一确定了。

2.边角边（SAS）公理

如果两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

简记为“边角边”或“SAS”。

这里必须注意，角必须是两条已知边的夹角。若为其中一边的对角，则不一定能判定全等（即“SSA”不成立，除非该角为直角，此时便成为直角三角形的“HL”判定）。

3.角边角（ASA）公理

如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

简记为“角边角”或“ASA”。

两角及其夹边确定，第三个角自然也确定（三角形内角和为180度），因此三角形的形状和大小也就确定了。

4.角角边（AAS）定理

如果两个三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

简记为“角角边”或“AAS”。

由ASA公理可以很容易推导出AAS定理。因为已知两个角对应相等，那么第三个角也必然对应相等，此时就可以转化为ASA的情况。

5.斜边、直角边（HL）定理

对于两个直角三角形，如果它们的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。

简记为“斜边、直角边”或“HL”。

这是直角三角形特有的判定方法，因为直角三角形已经有一个直角相等的隐含条件。

温馨提示：

在运用上述条件判定三角形全等时，务必注意“对应”二字。边和角必须是两个三角形中相对应的部分，位置不能混淆。

二、证明三角形全等的一般思路与注意事项

1.明确目标：清楚要证明哪两个三角形全等。

2.寻找条件：

*已知条件：题目中明确给出的边或角的关系。

*隐含条件：图形中本身存在的关系，如公共边、公共角、对顶角相等、邻补角关系等。

*推导条件：通过已学的定义、公理、定理（如平行线的性质、角平分线的定义、垂直的定义等）推导出所需的边或角的关系。

3.选择方法：根据找到的条件，选择合适的全等判定方法。优先考虑条件最直接的判定方法。

4.规范书写：证明过程要逻辑清晰，步骤完整，论据充分。通常格式为：“在△XXX和△XXX中，∵...（列出三个条件）∴△XXX≌△XXX（判定方法）”。

三、证明题汇编与解析

例题1

已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB=CD，AE=DF，BE=CF。

求证：△ABE≌△DCF。

证明：

∵点A、B、C、D在同一条直线上（已知）

在△ABE和△DCF中，

AB=DC（已知，因为AB=CD）

AE=DF（已知）

BE=CF（已知）

∴△ABE≌△DCF（SSS）

例题2

已知：如图，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC。

求证：△ABC≌△ADE。

证明：

∵∠BAE=∠DAC（已知）

∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC（等式的性质）

即∠BAC=∠DAE

在△ABC和△ADE中，

AB=AD（已知）

∠BAC=∠DAE（已证）

AC=AE（已知）

∴△ABC≌△ADE（SAS）

例题3

已知：如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在AC上，且AE=CF。

求证：△ABE≌△CDF。

证明：

∵AB∥CD（已知）

∴∠BAE=∠DCF（两直线平行，内错角相等）

∵AE=CF（已知）

在△ABE和△CDF中，

∠BAE=∠DCF（已证）

AB=CD（已知）

AE=CF（已知）

∴△ABE≌△CDF（ASA）

例题4

已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F，且BF=AC。

求证：△BDF≌△ADC。

证明：

∵AD⊥BC，BE⊥AC（已知）

∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°（垂直的定义）

∵∠BFD+∠FBD=90°（直角三角形两锐角互余）

∠AFE+∠FAE=90°（同理）

又∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等）

∴∠FBD=∠FAE（等角的余角相等），即∠FBD=∠CAD

在△BDF和△ADC中，

∠BDF=∠ADC（已证