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平行四边形性质判断练习题解析

平行四边形作为平面几何中的基本图形之一，其性质与判定是初中数学的重点内容，也是解决复杂几何问题的基础。掌握平行四边形的判定方法，需要在深刻理解其定义与性质的前提下，通过适量练习加以巩固和灵活运用。本文将结合典型练习题，对平行四边形的判定思路与方法进行详细解析，旨在帮助读者建立清晰的解题逻辑，提升几何推理能力。

一、平行四边形的定义与核心性质回顾

在探讨判定方法之前，我们首先回顾平行四边形的定义与核心性质，这是理解判定的基础。

定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

由定义出发，平行四边形具有以下核心性质：

1.对边平行且相等：平行四边形的两组对边分别平行，且长度相等。

2.对角相等、邻角互补：平行四边形的两组对角分别相等，任意两个相邻的角之和为180度。

3.对角线互相平分：平行四边形的两条对角线相交于一点，且这一点将每条对角线分成相等的两段。

4.中心对称性：平行四边形是以对角线交点为对称中心的中心对称图形。

这些性质不仅描述了平行四边形的特征，其逆命题也构成了判定一个四边形是否为平行四边形的关键依据。

二、平行四边形的判定方法梳理

判定一个四边形是否为平行四边形，主要依据以下几条定理，在解题时需根据题目给出的条件，灵活选择最简便的判定路径：

1.定义判定法：若一个四边形的两组对边分别平行，则该四边形是平行四边形。（这是最基本、最直接的判定方法，其他判定定理均可由此推导）

2.对边相等判定法：若一个四边形的两组对边分别相等，则该四边形是平行四边形。

3.对边平行且相等判定法：若一个四边形的一组对边平行且相等，则该四边形是平行四边形。（“平行”和“相等”缺一不可，且必须针对“一组”对边）

4.对角相等判定法：若一个四边形的两组对角分别相等，则该四边形是平行四边形。

5.对角线互相平分判定法：若一个四边形的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形。

在实际解题中，题目往往不会直接给出上述判定定理所需的全部条件，而是需要我们结合已知信息，通过三角形全等、等腰三角形性质、平行线性质等知识进行推导，从而得出判定所需的条件。

三、典型练习题解析

例题1：基础判定条件的直接应用

题目：已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC。求证：四边形ABCD是平行四边形。

思路分析：本题直接给出了两组对边分别平行的条件，完全符合平行四边形的定义。

证明过程：

∵AB∥CD，AD∥BC（已知）

∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

小结：当题目中明确给出两组对边分别平行时，直接运用定义即可判定，这是最简单的情形。

例题2：利用“一组对边平行且相等”判定

题目：已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD。求证：四边形ABCD是平行四边形。

思路分析：题目给出了一组对边平行（AB∥CD）且相等（AB=CD）的条件，这符合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定定理。若想证明此定理，或题目未直接给出该判定定理作为已知，则可能需要通过构造辅助线（如连接AC），证明三角形全等（△ABC≌△CDA），进而得到另一组对边相等或平行。但在常规解题中，若该判定定理可直接应用，则无需重复证明其本源。

证明过程（直接应用定理）：

∵AB∥CD，AB=CD（已知）

∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

证明过程（基于全等三角形，供理解定理本源用）：

连接AC。

∵AB∥CD（已知）

∴∠BAC=∠DCA（两直线平行，内错角相等）

在△ABC和△CDA中，

AB=CD（已知）

∠BAC=∠DCA（已证）

AC=CA（公共边）

∴△ABC≌△CDA（SAS）

∴BC=DA（全等三角形对应边相等）

∠BCA=∠DAC（全等三角形对应角相等）

∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）

∵AB∥CD，AD∥BC（已知及已证）

∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形定义）

小结：“一组对边平行且相等”是判定平行四边形时非常常用的条件，它比“两组对边分别相等”或“两组对边分别平行”在条件上更为简洁。在证明时，要注意“平行”和“相等”两个条件必须同时具备，且针对同一组对边。

例题3：利用“对角线互相平分”判定

题目：已知：四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD。求证：四边形ABCD是平行四边形。

思路分析：本题给出了对角线互相平分的条件（OA=OC，OB=OD），可直接应用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理。同样，若需证明此定理，则可通过证明△AOB≌△COD和△AOD≌△COB，得到