精品解析：广东省广州市铁一中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题（原卷版）.docxVIP

广州市铁一中学2025-2026学年上学期期中考

高三数学

本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则的真子集的个数为（）

A.3 B.4 C.7 D.8

2.某圆锥底面半径为3，高为，则该圆锥的表面积为（）

A. B. C. D.

3.已知，则（）

A. B. C. D.

4.已知等差数列的前项和分别为，且，则（）

A. B.

C. D.

5.将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（）

A.72 B.84 C.96 D.108

6.如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（）

A.9 B.4 C.3 D.

7.已知双曲线（，）的两个焦点为，，，是的右支上两点.若，∥，且，则的离心率为（）

A B.2 C. D.

8.在中，角为锐角，的面积为，且，则周长的最小值为（）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数，在复平面内对应点分别为，，则下列说法正确的有（）

A.若则

B.若，则

C.若，则

D.若，则

10.已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是（）

A.若，则直线的斜率为 B.

C.(为坐标原点) D.当取最小值时，

11.定义：设是的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法正确的是（）.

A.，

B.函数有三个零点

C.

D.若过点可以作三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为

三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.

12.的展开式中的系数为________.

13.已知，当时，，则的通项公式为___________

14.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”．如图，三棱柱为一“堑堵”，P是的中点，，则该“堑堵”的外接球的表面积为______；在过点P且与直线平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为______

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知正项数列的前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，若数列满足，且数列前项和为，若恒成立，求的取值范围．

16.如图，在四棱锥中，是正三角形，，平面平面，是棱上动点．

（1）求证：平面平面；

（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为30°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

17.小华、小明、小红三人为某比赛制定了如下规则：先确定挑战权，挑战权属于某人时，该人可挑战另外两人.经商定，小华首先获得挑战权，他挑战小明、小红的概率均为.若他挑战小明，下一次的挑战权即属于小明，且小明再挑战小华、小红的概率分别为；若他挑战小红，下一次的挑战权即属于小红，且小红再挑战小华、小明的概率分别为.

（1）经过3次挑战后，小华已使用的挑战权次数记为，求的分布列及数学期望；

（2）若经过次挑战后，挑战权属于小华、小明、小红分别记为事件.

（ⅰ）证明：；

（ⅱ）求事件发生概率.

18.在平面直角坐标系中，圆的方程为：，定点，B是圆C上任意一点，线段BF的垂直平分线l和半径BC相交于点T.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）轨迹W与x轴的交点为M，N(点N在点M右侧)，直线PQ与轨迹W交于P，Q两点(异于M，N)，MP的斜率为，NQ的斜率为且，与的面积分别为，，求的最大值.

19.法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下:如果函数满足如下条件：①在闭区间上的图象是连续的；②在开区间上可导，则在开区间上至少存在一个实数，使得成立，人们称此定理为“拉格朗日中值定理”.

（1）已知且，

（i）若恒成立，求实数的取值范围；

（ii）当时，求证：.

（2）已知函数有两个零点，记作，若，证明：