第一章空间向量与立体几何练习题-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册.docxVIP

空间向量与立体几何练习题

一、选择题

1．已知空间向量，，则下列向量可以与，构成空间向量的一组基底的是()

A. B. C. D.

2．如图,在长方体中,M为棱的中点.若,,,则等于()

A. B. C. D.

3．如图,空间四边形中,,点M在上,且满足,点N为的中点,则()

A. B.

C. D.

4．如图,在四棱台中,底面是菱形,平面,,,则点B到直线的距离为()

A. B. C. D.

5．设,且,,则()

A.-1 B.0 C.1 D.2

6．在四面体中,点F在上,且,E为中点,则等于()

A. B.

C. D.

7．在直三棱柱中,,,M,N分别是,的中点,则直线BM与直线NC所成角的余弦值()

A. B.－ C. D.－

二、多项选择题

8．三棱锥中,,,,,平面与平面的夹角为,则的长度可以为()

A.5 B. C. D.6

9．以下能够判定空间中四点A，B，C，D共面的条件是()

A. B.

C. D.

10．已知平行六面体的各个面均为菱形,设,且,两两之间的夹角为,则()

A. B.

C. D.

三、填空题

11．已知空间向量,,向量在向量上的投影向量坐标为_______________.

12．如图，平面，，，，，M为的中点，N为上一点，若，则点N到平面的距离为________.

13．如图,在正方体中,点M为棱的中点,若N为底面内一点（不包含边界）,且满足平面.设直线MN与直线所成的角为,则的最小值为______.

四、解答题

14．如图,正方体的棱长为2,E是的中点.

（1）求证:⊥平面;

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

15．如图,在三棱柱中,平面,,,D,E分别是,的中点.

（1）求证:平面;

（2）求平面ABC与平面所成角的正弦值.

16．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，为正三角形.

(1)求证：平面平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值；

(3)设点T是三棱锥外接球上一点，求点T到平面距离的最大值.

17．如图,在三棱台中,平面ABC,,,,,M为的中点.

(1)证明：平面AMC；

(2)求平面和平面AMC夹角的余弦值.

18．如图,在三棱锥中,为半圆O的直径,A是弧上异于B,C的点.点D在直线上,平面,其中E为的中点.

(1)证明：平面；

(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案

1．答案：B

解析：对于A，由于基底向量不能是零向量，故A错误，

对于B，由于与，不共面，符合基底要求，故B正确，

对于C，，故，，共面，不符合要求，C错误，

对于D，，故，，共面，不符合要求，D错误，

故选：B

2．答案：A

解析：由题意得,.

故选:A.

3．答案：C

解析：由,点N为的中点,

可得,

又,.

故选:C.

4．答案：D

解析：以A为原点,分别以,过A垂直于,方向为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系如图所示,

因为且四边形是菱形,

所以,且,即,

所以,

设点B到直线的距离为d,

所以,

故选:D.

5．答案：C

解析：,,

,

,

,

,即.

故选:C.

6．答案：B

解析：连接,如下图所示:

因为E为的中点,则,

因为点F在上,且,则,

因为,

故选:B.

7．答案：C

解析：由题意以B为原点,所在直线分别为为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

设,则,

则,

则,

则,

故直线BM与直线NC所成角的余弦值为.

故选:C

8．答案：BC

解析：三棱锥中,由可得,,

则是二面角的平面角,如图,

,

而,,,

,

因为平面与平面的夹角为,

则当时,,

当时,,

所以的长度可以为,.

故选：BC.

9．答案：ABD

解析：对于A，因为，所以，，共面，

又因为有公共点A，所以四点A，B，C，D共面；

对于B，因为，所以四点A，B，C，D共面；

对于C，因为，所以，

即直线和可能异面，四点A，B，C，D不一定共面；

对于D，因为，所以，所以四点A，B，C，D共面.

故选：ABD.

10．答案：ACD

解析：对A,因为平行六面体的各面均为菱形,所以,

且两两之间的夹角均为,所以,

故,故A正确;

对B,2,故B错误;

对C,,故,故C正确;

对D,,

则,

又,故,故D正确.

故选:ACD.

11．答案：

解析：由投影向量的定义可知,

,

故答案为：.

12．答案：

解析：因为平面，，以D为原点，

分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

如图所示，则，，，，.

，，，

设为平面的一个法向量，则即

不妨设，可得，

因为，所以.

则点N到平面的距离为.

故答案为：

13．答案：

解析：分别取线段的中点Q,P,连接MQ,MP,PQ,如图所示.

连接,易知,所以.

因为平面平面,所