第3章线性方程组的迭代.pptVIP

３.4.4三种迭代方法混合程序示例VB界面VB程序清单参见课本本章目录总目录3.13.23.33.43.53.63.7第29页，共58页，星期日，2025年，2月5日３.4.4三种迭代方法混合程序示例利用上面的程序，用3种方法求解下列方程组：解：第一种方法--简单迭代启动上面的VB程序，按照提示分别输入以下数据：60-1-3102-502-3244020经18次迭代计算，得以下解：本章目录总目录3.13.23.33.43.53.63.7第30页，共58页，星期日，2025年，2月5日３.4.4三种迭代方法混合程序示例第二种方法——紧凑迭代，经10次迭代，得以下解：第三种方法——松弛迭代，取松弛因子等于0.5，经51次迭代，可得以下解：本章目录总目录3.13.23.33.43.53.63.7第31页，共58页，星期日，2025年，2月5日3.5高斯消去法本章目录总目录3.13.23.33.43.53.63.73.5.1高斯消去法原理3.5.2高斯消去法程序及实例3.5.3主元最大高斯消去法第32页，共58页，星期日，2025年，2月5日3.5.1高斯消去法原理高斯消去法不需要方程组解的初值，也不需要重复迭代计算，它通过消去和回代两个过程就可以直接求出方程组的解。下面以一个三元方程为例，说明高斯消去法的计算步骤。设一个三元方程组，以矩阵形式表示为：（3-6）本章目录总目录3.13.23.33.43.53.63.7第33页，共58页，星期日，2025年，2月5日3.5.1高斯消去法原理高斯消去法的步骤为：1、用除（3-6）方程组的第一个方程组，（3-6）变为：2、用乘以方程组（3-7）的第一个方程，并从其第二个方程中减去，得：（3-7）（3-8）本章目录总目录3.13.23.33.43.53.63.7第34页，共58页，星期日，2025年，2月5日3.5.1高斯消去法原理同法将（3-8）的第一个方程乘，再从第三个方程中减去，得：（3-9）再进行上述1、2两步运算时，称第一行为枢轴行，称为主元。本章目录总目录3.13.23.33.43.53.63.7第35页，共58页，星期日，2025年，2月5日3.5.1高斯消去法原理3、相继以第二行和第三行为枢轴行，分别以为主元，进行同样的计算，最后得到：（3-10）其系数矩阵是一个上三角阵。4、回代求出最后解（3-11）（3-12）（3-13）本章目录总目录3.13.23.33.43.53.63.7第36页，共58页，星期日，2025年，2月5日3.5.2高斯消去法程序及实例利用已有得程序依次输入3，6，-1，-3，10，2，-5，2，-3，2，4，4，20得到方程得解为：本章目录总目录3.13.23.33.43.53.63.7第37页，共58页，星期日，2025年，2月5日3.5.3主元最大高斯消去法碰到主元为零的情况时，如：在主元所在的列中，寻找到最大的元素，进行行与行之间的调换，并将该最大的元素作为主元，保证主元不为零，如果此时主元仍为零，则该方程组本身就无解或有无穷多组解。VB程序清单参见课本本章目录总目录3.13.23.33.43.53.63.7第38页，共58页，星期日，2025年，2月5日3.6三角分解法本章目录总目录3.13.23.33.43.53.63.7第39页，共58页，星期日，2025年，2月5日3.6.1三角分解法计算公式三角分解法的前提条件是：系数矩阵A的各阶顺序主子式均不等于零，A可唯一的分解为：A=LU。则可利用矩阵的乘法规则，直接从矩阵A的元素来推得计算矩阵L和U的计算公式，从而给出求解线性代数方程组AX=t的三角分解法。设A=LU，即（3-14）本章目录总目录3.13.23.33.43.53.63.7第40页，共58页，星期日，2025年，2月5日3.6.1三角分解法计算公式由矩阵的乘法可得：（1）由L的第1行和U的第j列元素对应相乘后与A的对应元素相等，得即U的第1行元素由L的第i行和U的第1列元素对应相乘后与A的对应元素相等，得从而得到L的第1列元素这就定出了U的第1行元素及L的第1列元素。类似地，用矩阵乘法再确定U的第2行及L的第2列，如此继