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物理解题中求极值的常用方法

运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一，其中极值的计算在教学中频繁出现。因为极值问题范围广、习题多，会考、高考又经常考查，应该得到足够重视。另外很多学生数、理结合能力差，这里正是加强数理结合的“切人点”。学生求极值，方法较少，教师应该在高考专题复习中提供多种求极值的方法。求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手，也可以从数学方法角度思考，下面重点对数学方法求解物理极值问题作些说明。

1、利用顶点坐标法求极值

对于典型的一元二次函数y=ax2+bx+c,

若a0,则当x=-时,y有极小值，为ymin=；

若a0,则当x=-时,y有极大值，为ymax=；

2、利用一元二次函数判别式求极值

对于二次函数y=ax2+bx+c，用判别式法

利用Δ＝b2-4ac≥0。(式中含y)

若y≥A，则ymin＝A。

若y≤A，则ymax＝A。

3、利用配方法求极值

对于二次函数y=ax2+bx+c，函数解析式经配方可变为y=(x-A)2+常数：（1）当x＝A时，常数为极小值；或者函数解析式经配方可变为y=－(x－A)2+常数。（2）当x＝A时，常数为极大值。

4、利用均值定理法求极值

均值定理可表述为，式中a、b可以是单个变量，也可以是多项式。

当a＝b时，(a+b)min＝2。

当a＝b时，(a+b)max＝。

5、利用三角函数求极值

如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。若所求物理量表达式可化为“y=Asin”的形式，则y=Asin2α，在=45o时，y有极值。

对于复杂的三角函数，例如y=asinθ+bcosθ，要求极值时先需要把不同名的三角函数sinθ和cosθ，变成同名的三角函数，比如sin(θ+ф)。这个工作叫做“化一”。首先应作辅助角如所示。

φ

φ

a

b

图1

考虑asinθ+bcosθ＝()

＝(cosфsinθ+sinфcosθ)

＝sin(θ+ф)

其最大值为。

6、用图象法求极值

通过分析物理过程遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，作出其图象，由图象可求得极值。

7、用分析法求极值

分析物理过程，根据物理规律确定临界条件求解极值。下面针对上述7种方法做举例说明。

例1：如图2所示的电路中。电源的电动势ε＝12伏，内阻r＝0.5欧，外电阻R1＝2欧，R2＝3欧，滑动变阻器R3＝5欧。求滑动变阻器的滑动头P滑到什么位置，电路中的伏特计的示数有最大值?最大值是多少?

R

R1

R3

a

p

b

V

R2

图2

分析：设aP间电阻为x，外电路总电阻为R.则：

＝4。

因为a=-10,所以水平位移S应该存在最大值。当R==0.2m时，

Smax＝0.8m

例3：在一平直较窄的公路上，一辆汽车正以22m/s的速度匀速行驶，正前方有一辆自行车以4m/s的速度同向匀速行驶，汽车刹车的最大加速度为6m／s2，试分析两车不相撞的条件。

[解析]要使二者不相撞，则二者在任一时间内的位移关系应满足

V0t-（式中S为汽车刹车时与自行车间距）

代入数据整理得：3t2-18t+S0，

显然，当满足＝b2-4ac0，

即＝182-43S0得：S27m，Smin=27m。当汽车刹车时与自行车间距为27米时是汽车不与自行车相撞的条件。

例4：如图4所示。一辆四分之一圆弧小车停在不光滑水平地面上，质量为m的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下，且小车始终保持静止状态，试分析：当小球运动到什么位置时，地面对小车的摩擦力最大?最大值是多少?

O

O

mg

N

图4

[解析]：设圆弧半径为R，当小球运动到重力mg与半径夹角为θ时，速度为V，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律有：

解得小球对小车的压力为：N=3mgcosθ，其水平分量为：Nx=3mgsinθcosθ=

根据平衡条件，地面对小车的静摩擦力水平向右，大小为：f=Nx=

可以看出：当sin2θ=1,即θ=45o时，地面对小车的静摩擦力最大，其值为：fmax=。

例5：如图5所示。质量为m的物体由力F牵引而在地面上匀速直线运动。物体与地面间的滑动摩擦系数为μ,求力F最小时的牵引角θ。(F的方向是随θ变化的。)

N

N

图5

G

f

F

[解析]：因物体匀速直线运动，所以有：

Fcosθ-f＝0①

f＝μN＝μ(mg-Fsinθ)②

②代人①得：Fcosθ-μmg+μFsinθ＝0

即：F＝。分母为两项不同名的三角函数，需要转化成同名的三角函数，也就是需要“化一”。由前面的“化一”结论得：asinθ+bcosθ＝sin(θ+ф)

考虑本题分母：μsinθ+cosθ与asinθ+bcosθ用比较法，得：a＝μ