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2025年连续型概率论题目及答案

一、单项选择题（总共10题，每题2分）

1.设随机变量X的概率密度函数为f(x)，则下列哪个表达式表示X的期望值？

A.∫-∞∞xf(x)dx

B.∫0∞xf(x)dx

C.∫-∞0xf(x)dx

D.∫-∞∞f(x)dx

答案：A

2.若随机变量X的概率密度函数为f(x)=2x（0≤x≤1），则X的方差是多少？

A.1/4

B.1/3

C.1/2

D.1

答案：B

3.设随机变量X的分布函数为F(x)，则下列哪个表达式表示X的累积分布函数？

A.P(X≤x)

B.P(Xx)

C.P(Xx)

D.P(X=x)

答案：A

4.若随机变量X的概率密度函数为f(x)=e^-x（x≥0），则X的期望值是多少？

A.1

B.2

C.0.5

D.∞

答案：A

5.设随机变量X和Y相互独立，且X的概率密度函数为f_X(x)，Y的概率密度函数为f_Y(y)，则X和Y的联合概率密度函数是什么？

A.f_X(x)+f_Y(y)

B.f_X(x)f_Y(y)

C.f_X(x)/f_Y(y)

D.f_X(y)f_Y(x)

答案：B

6.若随机变量X的概率密度函数为f(x)=1/π1/(x^2+1)（-∞x∞），则X的分布是什么？

A.正态分布

B.指数分布

C.Cauchy分布

D.均匀分布

答案：C

7.设随机变量X的期望值为μ，方差为σ^2，则根据切比雪夫不等式，P(|X-μ|≥kσ)≤？

A.1/k^2

B.k^2

C.1/σ^2

D.σ^2/k^2

答案：A

8.若随机变量X的概率密度函数为f(x)=1/2（0≤x≤2），则X的累积分布函数是什么？

A.F(x)=x/2

B.F(x)=x^2/4

C.F(x)=0forx0,F(x)=x/2for0≤x≤2,F(x)=1forx2

D.F(x)=0forx0,F(x)=x^2/4for0≤x≤2,F(x)=1forx2

答案：C

9.设随机变量X和Y的联合概率密度函数为f(x,y)，则X和Y的边缘概率密度函数f_X(x)是什么？

A.∫-∞∞f(x,y)dy

B.∫0∞f(x,y)dy

C.∫-∞0f(x,y)dy

D.∫-∞∞f(x,y)dx

答案：A

10.若随机变量X的概率密度函数为f(x)=2x（0≤x≤1），则X的方差是多少？

A.1/4

B.1/3

C.1/2

D.1

答案：B

二、多项选择题（总共10题，每题2分）

1.下列哪些是连续型随机变量的性质？

A.概率密度函数f(x)非负

B.概率密度函数f(x)的积分为1

C.累积分布函数是单调递增的

D.期望值一定存在

答案：A,B,C,D

2.设随机变量X的概率密度函数为f(x)，则下列哪些表达式表示X的期望值？

A.∫-∞∞xf(x)dx

B.∫0∞xf(x)dx

C.∫-∞0xf(x)dx

D.∫-∞∞f(x)dx

答案：A

3.若随机变量X的概率密度函数为f(x)=e^-x（x≥0），则下列哪些是正确的？

A.X的期望值为1

B.X的方差为1

C.X的累积分布函数为1-e^-x

D.X是指数分布

答案：A,B,C,D

4.设随机变量X和Y相互独立，且X的概率密度函数为f_X(x)，Y的概率密度函数为f_Y(y)，则下列哪些是正确的？

A.X和Y的联合概率密度函数为f_X(x)f_Y(y)

B.X和Y的边缘概率密度函数分别为f_X(x)和f_Y(y)

C.X和Y的期望值分别为E[X]和E[Y]

D.X和Y的方差分别为Var(X)和Var(Y)

答案：A,B,C,D

5.下列哪些是连续型随机变量的常见分布？

A.正态分布

B.指数分布

C.Cauchy分布

D.均匀分布

答案：A,B,C,D

6.设随机变量X的期望值为μ，方差为σ^2，则根据切比雪夫不等式，下列哪些是正确的？

A.P(|X-μ|≥kσ)≤1/k^2

B.P(|X-μ|kσ)≥1-1/k^2

C.k可以取任意正数

D.切比雪夫不等式适用于任何分布

答案：A,B,C,D

7.若随机变量X的概率密度函数为f(x)=1/π1/(x^2+1)（-∞x∞），则下列哪些是正确的？

A.X的分布是Cauchy分布

B.X的期望值不存在

C.X的方差不存在

D.X的分布函数是F(x)=arctan(x)/π

答案：A,B,C,D

8.设随机变量X和Y的联合概率密度函数为f(x,y)，则下列哪些