平均信息熵及其应用.pptVIP

第1页，共40页，星期日，2025年，2月5日信息能否度量？物质、能量和信息是构成客观世界的三大要素。信息（information）是什么?至今信息还没有一个公认的定义一般定义：常常把消息中有意义的内容称为信息。第2页，共40页，星期日，2025年，2月5日认识问题的过程：当我们对一问题毫无了解时，对它的认识是不确定的，在对问题的了解过程中，通过各种途径获得信息，逐渐消除了不确定性，获得的信息越多，消除的不确定性也越多。我们可以用消除不确定性的多少来度量信息量的大小。例：会堂有20排、每排20个座位。找一个人。甲告诉消息：此人在第10排；乙告诉消息：此人在第10排、第10座。第3页，共40页，星期日，2025年，2月5日是否存在信息量的度量公式？1948年，美国数学家、信息论的创始人Shannon在题为“通讯的数学理论”的论文中指出：“信息是用来消除随机不定性的东西”。并应用概率论知识和逻辑方法推导出了信息量的计算公式ClaudeElwoodShannon(April30,1916-February24,2001)hasbeencalledthefatherofinformationtheory.第4页，共40页，星期日，2025年，2月5日公理1：信息量是事件发生概率的连续函数；公理2：信息量是有限值；公理3：如果事件A和事件B的发生是相互独立的，则获知事件A和事件B将同时发生的信息量是单独获知两事件发生的信息量之和。设事件发生的概率为P，则满足上述公理的信息量函数为为应用方便，可取c=1，a=e，单位为奈特（nat）第5页，共40页，星期日，2025年，2月5日信息量函数I=-lnp如何体现不确定性的消除？第6页，共40页，星期日，2025年，2月5日例：会堂有20排、每排20个座位。找一个人。甲告诉消息(A)：此人在第10排；乙告诉消息(B)：此人在第10排、第10座。由信息量公式I=-lnp可知I是p的单调下降函数第7页，共40页，星期日，2025年，2月5日信息熵(entropy)的概念设离散型随机变量X的概率分布为X的信息熵定义为“加权平均信息量”第8页，共40页，星期日，2025年，2月5日信息熵的直观意义变量的不确定性越大，熵也就越大，把它搞清楚所需要的信息量也就越大。??

一个系统越是有序，信息熵就越低；反之，一个系统越是混乱，信息熵就越高。所以，信息熵也可以说是系统有序化程度的一个度量。X甲赢乙赢P0.90.1H0.325X甲赢乙赢P0.50.5H0.693第9页，共40页，星期日，2025年，2月5日熵的性质连续非负性对称性扩展性可加性极值性：第10页，共40页，星期日，2025年，2月5日1948年，Shannon提出了熵的概念，并以此作为信息的度量，宣告了信息论作为一门科学学科的诞生。近年来，随着计算机应用的发展和信息时代的来临，信息论理论和应用的研究更显示出其重要意义。第11页，共40页，星期日，2025年，2月5日应用1：识别假币有12枚外形相同的硬币，其中一枚是假币（重量略有不同），如何用没有砝码的天平用最少次数找出假币？每个硬币可能是真，也可能是假，且假币可能重一些，也可能轻一些，故共有24种可能，不确定性为ln24。第12页，共40页，星期日，2025年，2月5日将硬币分成3份，其中2部分在天平的两边。实验结果有3种可能性：假币在天平左边、右边、不在天平上。当3种可能性概率相同时，熵最大，因此每次实验提供的最大信息熵为ln3。设至少秤k次，k次实验提供的信息熵最多为kln3,有ln24=kln3可得k至少为3。第13页，共40页，星期日，2025年，2月5日应用2：熵与参数估计的似然函数第14页，共40页，星期日，2025年，2月5日应用3：群体遗传学AaAa第15页，共40页，星期日，2025年，2月5日第16页，共40页，星期日，2025年，2月5日由此可见，无论第一代基因型概率分布为何值，第二代基因型熵即达到最大多对等位基因也有相同的结论AaBbAaBb第17页，共40页，星期日，2025年，2月5日Hardy–Weinberg平衡

(H–W平衡)定律一个随机交配的群体中，等位基因频率保