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随机信号分析课后习题及答案

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、

1.设随机变量X的概率密度函数为f(x)={

a*(1-|x|),-1=x=1

0,其他

}。求常数a的值。

2.设随机变量X服从均值为2，方差为4的正态分布。求P{X0}。

3.设随机变量X和Y的联合概率密度函数为f(x,y)={

2e^{-(x+y)},x0,y0

0,其他

}。求X和Y是否相互独立？并求X的边缘概率密度函数。

二、

4.设随机过程X(t)=A*cos(ωt+Θ)，其中A是均值为1、方差为2的随机变量，Ω是在[0,2π]上均匀分布的随机变量，且A与Ω独立。判断X(t)是否是宽平稳随机过程，并求其自相关函数R_X(t_1,t_2)。

三、

5.设随机过程Y(t)=X(t)+N(t)，其中X(t)是一个自相关函数为R_X(t_1,t_2)的平稳随机过程，N(t)是一个均值为0、功率谱密度为S_N(f)的白噪声，且X(t)与N(t)独立。求Y(t)的功率谱密度S_Y(f)。

四、

6.已知一线性时不变系统，其冲击响应h(t)=e^{-at}u(t)，其中a0，输入信号为平稳随机过程W(t)，其功率谱密度S_W(f)=1/(1+f^2)。求系统输出过程Z(t)的自相关函数R_Z(t_1,t_2)。

五、

7.设随机变量X和Y的均值分别为E[X]=1,E[Y]=2，方差分别为Var(X)=4,Var(Y)=9，协方差Cov(X,Y)=3。求随机变量Z=2X-Y的均值E[Z]和方差Var(Z)。

六、

8.设平稳随机过程X(t)的自相关函数R_X(τ)=2*e^{-|τ|}。求X(t)的功率谱密度S_X(f)。

七、

9.设随机过程X(t)的自相关函数R_X(t_1,t_2)=4*e^{-|t_1-t_2|}。判断X(t)是否是宽平稳随机过程？如果是，求其功率谱密度S_X(f)。

八、

10.设随机过程N(t)是一个均值为0、功率谱密度为S_N(f)=N_0/2的白噪声。求一个线性时不变系统，使其输入为N(t)，输出为一个具有功率谱密度S_Z(f)=N_0/(2(1+f^2))的随机过程。请给出该系统的冲击响应h(t)的表达式。

九、

11.设X(t)是一个自相关函数为R_X(τ)=1/(1+|\tau|)的平稳随机过程。求维纳-霍夫方程E[X(t)X(t+τ)]=E[X(t)]E[X(t+τ)]+R_X(τ)的解，即一个线性时不变系统，使其输入为X(t)，输出为Y(t)=E[X(t)]，请给出该系统的冲击响应h(t)的表达式。

十、

12.设随机过程X(t)的自相关函数R_X(τ)=2*cos(ω_0τ)。求X(t)的功率谱密度S_X(f)。

十一、

13.设随机变量X和Y的联合概率密度函数为f(x,y)={

x+y,0=x=1,0=y=1

0,其他

}。求E[X|Y=0.5]。

十二、

14.设随机过程Y(t)=X(t)*cos(ω_0t)，其中X(t)是一个均值为0、自相关函数为R_X(τ)的平稳随机过程。求Y(t)的自相关函数R_Y(t_1,t_2)。

十三、

15.设随机过程Z(t)=X(t)+Y(t)，其中X(t)和Y(t)是两个相互独立的平稳随机过程，X(t)的自相关函数为R_X(τ)=e^{-a|\tau|}，Y(t)的自相关函数为R_Y(τ)=e^{-b|\tau|}，其中a,b0。求Z(t)的功率谱密度S_Z(f)。

试卷答案

一、

1.解析思路：根据概率密度函数的性质，其在整个定义域上的积分必须为1。因此，对a*(1-|x|)在[-1,1]区间积分并令其等于1，解出a。

解：∫_{-1}^{1}a*(1-|x|)dx=a*∫_{-1}^{0}(1+x)dx+a*∫_{0}^{1}(1-x)dx

=a*[(x+x^2/2)|