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多元函数微分试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.设函数f(x,y)在点(1,1)处可微，且f(1,1)=1，f_x(1,1)=2，f_y(1,1)=-3，则lim_{(x,y)→(1,1)}\frac{f(x,y)-f(1,1)-f_x(1,1)(x-1)-f_y(1,1)(y-1)}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}}=（）（2分）

A.0

B.1

C.2

D.-3

【答案】A

【解析】根据函数可微的定义，极限值为0。

2.函数z=\sqrt{x^2+y^2}在点(0,0)处的偏导数\frac{\partialz}{\partialx}（）（2分）

A.存在且为0

B.存在且为1

C.不存在

D.不确定

【答案】C

【解析】在原点处，偏导数不存在。

3.设z=f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，若f_x(0,0)=1，f_y(0,0)=2，则下列说法正确的是（）（2分）

A.\lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=1

B.\lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=2

C.\lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}不存在

D.\lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=3

【答案】A

【解析】根据可微的定义，极限值为1。

4.函数z=\ln(x+y)在点(1,1)处的全微分dz（）（2分）

A.dz=\frac{1}{2}dx+\frac{1}{2}dy

B.dz=dx+dy

C.dz=\frac{1}{x+y}dx+\frac{1}{x+y}dy

D.dz=\frac{1}{2}dx+\frac{1}{2}dy

【答案】C

【解析】全微分公式为dz=\frac{\partialz}{\partialx}dx+\frac{\partialz}{\partialy}dy。

5.设z=f(x,y)在点(1,1)处可微，且f(1,1)=1，f_x(1,1)=2，f_y(1,1)=-3，则f(1,1)+f_x(1,1)(x-1)+f_y(1,1)(y-1)的值在点(2,2)处为（）（2分）

A.1

B.2

C.3

D.4

【答案】D

【解析】代入点(2,2)的值计算。

6.函数z=\sin(x^2+y^2)在点(0,0)处的偏导数\frac{\partialz}{\partialx}（）（2分）

A.存在且为0

B.存在且为1

C.不存在

D.不确定

【答案】A

【解析】在原点处，偏导数存在且为0。

7.设z=f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，若f_x(0,0)=1，f_y(0,0)=2，则下列说法正确的是（）（2分）

A.\lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{f(x,y)}{x+y}=1

B.\lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{f(x,y)}{x+y}=2

C.\lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{f(x,y)}{x+y}不存在

D.\lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{f(x,y)}{x+y}=3

【答案】A

【解析】根据可微的定义，极限值为1。

8.函数z=\sqrt{x^2+y^2}在点(1,1)处的全微分dz（）（2分）

A.dz=dx+dy

B.dz=\sqrt{2}(dx+dy)

C.dz=\frac{1}{\sqrt{2}}(dx+dy)

D.dz=\frac{1}{2}(dx+dy)

【答案】B

【解析】全微分公式为dz=\frac{\partialz}{\partialx}dx+\frac{\partialz}{\partialy}dy。

9.设z=f(x,y)在点(1,1)处可微，且f(1,1)=1，f_x(1,1)=2，f_y(1,1)=-3，则f(1,1)+f_x(1,1)(x-1)+f_y(1,1)(y-1)的值在点(0,0)处为（）（2分）

A.1

B.2

C.3

D.4

【答案】A

【解析】代入点(0,0)的值计算。

10.函数z=\ln(x+y)在点(1,1)处的偏导数\frac{\partialz}{\partialx}（）（2分）

A.存在且为0

B.存在且为1

C.不存在

D.不确定

【答案】B

【解析】偏导数存在且为1。

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在点(0,0)处可微的有（）（4分）

A.z=\sqrt{x^2+y^2}

B.z=\ln(x^2+y^2)

C.z=\frac{x^2}{y}

D.z=\sin(x^2+y^2)

【答案】D

【解析】只有z=\