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2025年抽象代数期末考试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）

1.设G是一个群，a,b∈G，若a^2=b^2，则下列结论不一定成立的是：

A.a=b或a=b^(-1)

B.a=b或a=b^(-1)或a=b^(-1)

C.a=b或a=b^(-1)或a=b^(-1)

D.a=b或a=b^(-1)或a=b^(-1)

答案：C

2.下列哪个集合和运算构成一个群？

A.整数集Z，加法

B.非零实数集R\{0}，乘法

C.2×2实矩阵集，矩阵加法

D.2×2实矩阵集，矩阵乘法

答案：A

3.设G是群，a,b∈G，若a^3=b^3且ab=ba，则下列结论成立的是：

A.a=b

B.a=b^(-1)

C.a=b或a=b^(-1)

D.a=b或a=b^(-1)或a=b^(-1)

答案：C

4.有限群G的阶是n，若n是素数，则G一定是：

A.循环群

B.非循环群

C.可换群

D.非可换群

答案：A

5.下列哪个是循环群的一个生成元？

A.{0}

B.{1}

C.{0,1}

D.{0,1,2,3}

答案：B

6.设G是群，a,b∈G，若a^2=b^2且ab=ba，则下列结论成立的是：

A.a=b

B.a=b^(-1)

C.a=b或a=b^(-1)

D.a=b或a=b^(-1)或a=b^(-1)

答案：C

7.下列哪个集合和运算构成一个环？

A.整数集Z，加法和乘法

B.有理数集Q，加法和乘法

C.复数集C，加法和乘法

D.2×2实矩阵集，矩阵加法和乘法

答案：D

8.下列哪个是域的一个性质？

A.有乘法单位元

B.乘法运算可逆

C.有加法单位元

D.加法运算可逆

答案：B

9.设R是一个环，若R中每个非零元都有乘法逆元，则R一定是：

A.域

B.整环

C.集合

D.半域

答案：A

10.下列哪个是环的一个性质？

A.有乘法单位元

B.乘法运算可逆

C.有加法单位元

D.加法运算可逆

答案：A

二、多项选择题（每题2分，共10题）

1.下列哪些是群的性质？

A.封闭性

B.结合律

C.存在单位元

D.存在逆元

答案：A,B,C,D

2.下列哪些是环的性质？

A.封闭性

B.结合律

C.存在加法单位元

D.加法可逆

答案：A,B,C

3.下列哪些是域的性质？

A.有乘法单位元

B.乘法运算可逆

C.有加法单位元

D.加法运算可逆

答案：A,B,C,D

4.下列哪些是循环群的一个生成元？

A.{0}

B.{1}

C.{0,1}

D.{0,1,2,3}

答案：B

5.下列哪些是环的一个性质？

A.有乘法单位元

B.乘法运算可逆

C.有加法单位元

D.加法运算可逆

答案：A,B,C

6.下列哪些是群的性质？

A.封闭性

B.结合律

C.存在单位元

D.存在逆元

答案：A,B,C,D

7.下列哪些是域的性质？

A.有乘法单位元

B.乘法运算可逆

C.有加法单位元

D.加法运算可逆

答案：A,B,C,D

8.下列哪些是环的性质？

A.封闭性

B.结合律

C.存在加法单位元

D.加法运算可逆

答案：A,B,C

9.下列哪些是循环群的一个生成元？

A.{0}

B.{1}

C.{0,1}

D.{0,1,2,3}

答案：B

10.下列哪些是环的性质？

A.有乘法单位元

B.乘法运算可逆

C.有加法单位元

D.加法运算可逆

答案：A,B,C

三、判断题（每题2分，共10题）

1.设G是一个群，a,b∈G，若a^2=b^2，则a=b或a=b^(-1)。

答案：正确

2.有限群G的阶是n，若n是素数，则G一定是循环群。

答案：正确

3.下列哪个集合和运算构成一个群？整数集Z，加法。

答案：正确

4.下列哪个集合和运算构成一个环？非零实数集R\{0}，乘法。

答案：正确

5.设G是群，a,b∈G，若a^3=b^3且ab=ba，则a=b或a=b^(-1)。

答案：正确

6.下列哪个是循环群的一个生成元？{1}。

答案：正确

7.下列哪个是域的一个性质？有乘法单位元。

答案：正确

8.设R是一个环，若R中每个非零元都有乘法逆元，则R一定是域。

答案：正确

9.下列哪个是环的一个性质？有加法单位元。

答案：正确

10.下列哪个是群的性质？存在逆元。

答案：正确

四、简答题（每题5分，共4题）

1.简述群的定义及其性质。

答：群是一个集合G和一个二元运算·，满足以下性质：封闭性，结合律，存在单位元e，对于任意a∈G，存在逆元a^(-1)使得a·a^(-1)=e。

2.简述环的定义及其性质。

答：环是一个集合R和两个二元运算+和·，满足以下性质：R对+