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齐鲁理工高数题库及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）

1.函数\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定义域是（）

A.\((1,+\infty)\)B.\((1,2)\cup(2,+\infty)\)C.\([1,+\infty)\)D.\([1,2)\cup(2,+\infty)\)

答案：B

解析：要使函数有意义，需\(\ln(x-1)\neq0\)且\(x-10\)。由\(\ln(x-1)\neq0\)得\(x-1\neq1\)，即\(x\neq2\)；由\(x-10\)得\(x1\)，所以定义域是\((1,2)\cup(2,+\infty)\)。

2.当\(x\to0\)时，\(2x+x^2\)是\(x\)的（）

A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但不等价无穷小D.等价无穷小

答案：C

解析：\(\lim\limits_{x\to0}\frac{2x+x^2}{x}=\lim\limits_{x\to0}(2+x)=2\)，极限为非零常数，所以是同阶但不等价无穷小。

3.已知\(f(x)\)的一个原函数是\(e^{-x}\)，则\(f^\prime(x)\)=（）

A.\(e^{-x}\)B.\(-e^{-x}\)C.\(e^{-x}\)D.\(-e^{-x}\)

答案：D

解析：因为\(f(x)\)的一个原函数是\(e^{-x}\)，所以\(f(x)=(e^{-x})^\prime=-e^{-x}\)，则\(f^\prime(x)=(-e^{-x})^\prime=e^{-x}\)。

4.定积分\(\int_{0}^{1}x^2dx\)=（）

A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.3

答案：A

解析：根据定积分公式\(\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\)（\(n\neq-1\)），\(\int_{0}^{1}x^2dx=[\frac{1}{3}x^3]_0^1=\frac{1}{3}(1^3-0^3)=\frac{1}{3}\)。

5.函数\(y=x^3-3x\)的单调递增区间是（）

A.\((-\infty,-1)\)B.\((-1,1)\)C.\((1,+\infty)\)D.\((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)

答案：D

解析：对\(y=x^3-3x\)求导得\(y^\prime=3x^2-3\)，令\(y^\prime0\)，即\(3x^2-30\)，解得\(x1\)或\(x-1\)，所以单调递增区间是\((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)。

6.设\(z=x^2y\)，则\(\frac{\partialz}{\partialx}\)=（）

A.\(2xy\)B.\(x^2\)C.\(2x\)D.\(y\)

答案：A

解析：把\(y\)看作常数，对\(x\)求导，\(\frac{\partialz}{\partialx}=2xy\)。

7.级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)的和为（）

A.1B.\(\frac{1}{2}\)C.2D.不存在

答案：A

解析：\(\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)，则\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=1-\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=1\)。

8.微分方程\(y^\prime=2x\)的通解是（）

A.\(y=x^2+C\)B.\(y=2x^2+C\)C.\(y=x+C\)D.\(y=2x+C\)

答案：A

解析：对\(y^\prime=2x\)两边积分，\(y=\int2xdx=x^2+C\)。

9.向量\(\vec{a}=(1,2,-1)\)，\(