2026届高三二轮复习课件 数学 专题6 函数与导数 培优拓展12 抽象函数问题.pptxVIP

;类型一赋值法;抽象函数是指未给出具体解析式,仅通过某些特征或性质来定义的函数.以抽象函数为背景的综合题型,通常借助函数性质的代数描述,全面考查学生的数学符号语言理解与运用能力、代数推理与论证能力,以及对一般性与特殊性关系的把握.这类问题既体现了高考命题对学生能力的深度考查,也是近年来高考的热点与难点之一.;;例1(多选题)(2023新高考Ⅰ,11)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则()

A.f(0)=0

B.f(1)=0

C.f(x)是偶函数

D.x=0为f(x)的极小值点;解析对于选项A,令x=0,y=0,f(0)=0,所以A正确;

对于选项B,令x=1,y=1,f(1×1)=12×f(1)+12×f(1)=2f(1),解得f(1)=0,所以B正确;

对于选项C,令x=-1,y=-1,f[(-1)×(-1)]=(-1)2×f(-1)+(-1)2×f(-1)=2f(-1),解得f(-1)=0;再令x=-1,y=x,f[(-1)×x]=x2×f(-1)+(-1)2×f(x),f(-x)=f(x),所以C正确;

对于选项D,用特值法,函数f(x)=0,为常数函数,且满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),

而常数函数没有极值点,所以D错误.故选ABC.;?;?;;?;解析(方法一赋值法)

令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1)=f(x),即f(x+1)=f(x)-f(x-1).

从而f(x+2)=f(x+1)-f(x),f(x+3)=f(x+2)-f(x+1).

消去f(x+2)和f(x+1),得到f(x+3)=-f(x),

从而f(x+6)=f(x),故f(x)的周期为6.

令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0),得f(0)=2,

f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,

f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,

f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1,

f(5)=f(4)-f(3)=-1-(-2)=1,

f(6)=f(5)-f(4)=1-(-1)=2,;?;?;?;?;;?;?;?;?;?;【对点训练3】(多选题)(2025江西宜春二模)已知函数f(x)(x∈R),对任意a,b∈R,均有f(a+b)-f(a-b)=2f(1-a)f(b),且f(1)=1,f(x)为f(x)的导函数,则下列选项正确的是()

A.f(2025)=1

B.f(x)为偶函数

C.f(1)+f(2)+…+f(2025)=0

D.[f(x)]2+[f(1-x)]2=1;解析f(a+b)-f(a-b)=2f(1-a)f(b),令a=1,b=0,得2f(0)f(0)=0,解得f(0)=0;

令a=0,则f(b)-f(-b)=2f(1)f(b),又f(1)=1,所以f(b)-f(-b)=2f(b),得-f(-b)=f(b),

对于任意的b∈R都成立,所以y=f(x)为奇函数,故B错误;

令a=1-x,b=x,得f(1)-f(1-2x)=2f(x)f(x),①

把x换成1-x,得f(1)-f(2x-1)=2f(1-x)f(1-x),②

又f(x)为奇函数,所以f(2x-1)=-f(1-2x),又f(1)=1,

所以①+②得1=[f(x)]2+[f(1-x)]2,故D正确;

令a=1+x,b=1,得f(x+1+1)-f(x+1-1)=2f(1-x-1)f(1),所以f(x+2)-f(x)=2f(-x),

又f(-x)=-f(x),

所以f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

所以函数f(x)的周期为4,得f(2025)=f(1)=1,故A正确;;f(a+b)-f(a-b)=2f(1-a)f(b),等式两边同时对b求导,

得f(a+b)+f(a-b)=2f(1-a)f(b),

令b=0,得f(a)+f(a)=2f(1-a)f(0),即f(a)=f(1-a)f(0),③

由f(-x)=-f(x),得f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,

由f(x+2)=-f(x),得f(x+2)=-f(x),

所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期为4.令a=1,b=0,

由③得f(1)=f(0)f(0)=0,则f(3)=-f(1)=0,即f(1)+f(3)=0.

f(2)+f(4)=f(2)+f(0)=f(-1)f(0)+f(0)=-f(1)f(0)+f(0)=0,

所以f(1)+f(2)+…+f(2025)=506(f(1)+f(2)+f(3)+f(4))+f(1)=0,故C正确.

故选ACD.