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2025金钥匙竞赛试题及答案

一、数学与逻辑推理（共5题，每题10分，共50分）

1.已知函数\(f(x)=\ln(x^2+1)-ax\)（\(a0\)），若\(f(x)\)在区间\([1,3]\)上单调递减，求实数\(a\)的取值范围。

2.如图所示（注：此处为文字描述替代图：边长为4的正六边形ABCDEF，顶点A在坐标原点，边AB在x轴正半轴上），点P为边CD上的动点，点Q为边EF上的动点，且满足\(AP\perpBQ\)。当\(|PQ|\)最小时，求点P的坐标。

3.某城市规划建设环形地铁线，线路由n个站点等距分布构成（n≥3），相邻两站间距离为1公里。若从任意站点出发，乘坐地铁经过k站（k=1,2,…,n-1）到达另一站点的票价为k元，且允许在任意站点换乘。现需设计票价优惠方案：若乘客从站点A到站点B的最短路径经过m个换乘点（m≥0），则实际支付票价为原票价的\(\frac{1}{m+1}\)。求当n=7时，从站点1到站点5的最小实际支付金额（单位：元）。

4.证明：对于任意正整数n，方程\(x^n+x^{n-1}+\dots+x=n\)有且仅有一个正实数解\(x_n\)，且\(x_n2\)。

5.甲、乙两人玩数字游戏：甲先写出一个三位数\(\overline{abc}\)（a≠0），乙通过提问“某一位数字是否大于k”（k为整数）来猜测该数，每次提问消耗1分。若乙在m次提问内猜中，甲支付乙m分；若超过m次，乙支付甲10分。为使乙的期望收益非负，求最小的m值（假设甲选择的数均匀分布在100-999之间）。

二、物理与工程技术（共4题，每题15分，共60分）

6.新型太阳能汽车采用“光伏-氢燃料电池”双动力系统：白天光伏板发电（效率η?=25%），多余电能电解水制氢（电解效率η?=80%）；夜间氢燃料电池供电（能量转换效率η?=60%）。已知当地日均日照时间t?=8小时，光伏板接收的太阳辐射功率P?=1.2kW/m2，汽车夜间行驶需功率P=5kW，行驶时间t?=6小时。求至少需要多大面积的光伏板（水的摩尔质量M=18g/mol，电解1mol水需电能Q=572kJ，氢气热值q=1.4×10?J/kg）。

7.如图（文字描述：水平桌面上固定一U型导轨，间距L=0.5m，电阻不计；质量m=0.2kg的导体棒ab垂直导轨放置，电阻r=0.1Ω；导轨左端接电动势E=6V、内阻不计的电源，右端通过开关S连接电容C=1000μF的电容器。匀强磁场竖直向上，磁感应强度B=0.4T。初始时S断开，导体棒静止。t=0时闭合S，求：（1）闭合瞬间导体棒的加速度；（2）导体棒最终的稳定速度。

8.某卫星绕地球做椭圆轨道运动，近地点高度h?=200km，远地点高度h?=3800km，地球半径R=6400km，质量M=6×102?kg，引力常量G=6.67×10?11N·m2/kg2。求：（1）卫星在近地点的速率；（2）若卫星在远地点瞬间点火加速，使轨道变为圆轨道，求需增加的速率Δv。

9.设计一个实验方案，测量智能手机电池的实际容量（单位：mAh），要求：①器材仅使用手机、标准电阻箱（0.1Ω~9999Ω）、秒表、电压表（量程3V~5V）；②写出实验步骤、数据处理公式及误差主要来源。

三、化学与材料科学（共3题，每题15分，共45分）

10.某新型环保涂料的成膜物质为聚乳酸-羟基乙酸共聚物（PLGA），其合成路线如下：

乳酸（CH?CHOHCOOH）与羟基乙酸（HOCH?COOH）在催化剂作用下先形成环状二聚体（丙交酯和乙交酯），再开环聚合得到PLGA。已知PLGA的平均相对分子质量为5×10?，且乳酸与羟基乙酸的投料比（物质的量）为2:1。求：（1）丙交酯的结构简式；（2）PLGA的链节组成（用比例表示）；（3）合成1kgPLGA时，理论上消耗乳酸的质量（保留两位小数）。

11.某废水处理厂用“铁碳微电解-芬顿氧化”联合工艺处理含酚废水：①铁碳填料（Fe/C）在酸性条件下形成原电池，产生Fe2?；②投加H?O?，Fe2?催化H?O?分解生成·OH（羟基自由基，强氧化性），将苯酚（C?H?OH）氧化为CO?和H?O。已知废水pH=3，初始苯酚浓度为200mg/L，处理后需降至0.5mg/L。（1）写出铁碳微电解的电极反应式；（2）计算每处理1m3废水至少需要H?O?的质量（假设·OH完全用于氧化苯酚，苯酚氧化反应的转移电子数按完全氧化计算）。

12.某课题组制备了一种新型光催化剂BiVO?，其晶胞结构为四方晶系（a=b=0.519nm，c=1.15