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高等代数二题库及答案

一、单项选择题（总共10题，每题2分）

1.设A是n阶矩阵，若A的秩为r，则下列说法正确的是（）。

A.A中存在r个线性无关的行向量

B.A中存在r个线性无关的列向量

C.A中所有行向量线性相关

D.A中所有列向量线性相关

答案：A

2.下列哪个矩阵是可逆的（）。

A.\(\begin{pmatrix}12\\24\end{pmatrix}\)

B.\(\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\)

D.\(\begin{pmatrix}23\\46\end{pmatrix}\)

答案：B

3.设V是n维向量空间，W是V的一个子空间，维数分别为n和k，则下列说法正确的是（）。

A.W中任意k个向量线性无关

B.V中任意k个向量线性无关

C.W中任意n个向量线性无关

D.V中任意n个向量线性无关

答案：A

4.下列哪个是特征值λ=2的特征向量（）。

A.\(\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\)

B.\(\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\)

D.\(\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\)

答案：B

5.设A是n阶矩阵，B是A的伴随矩阵，则AB等于（）。

A.0

B.A

C.B

D.单位矩阵

答案：D

6.下列哪个矩阵是正定矩阵（）。

A.\(\begin{pmatrix}12\\23\end{pmatrix}\)

B.\(\begin{pmatrix}21\\12\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}1-1\\-11\end{pmatrix}\)

D.\(\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}\)

答案：B

7.下列哪个是线性无关的向量组（）。

A.\(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\)

B.\(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}\)

D.\(\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\),\(\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\)

答案：A

8.下列哪个是二次型的标准形（）。

A.\(x_1^2+x_2^2+x_3^2\)

B.\(x_1^2+2x_2^2+3x_3^2\)

C.\(x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_2x_3+2x_3x_1\)

D.\(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\)

答案：B

9.下列哪个是线性变换（）。

A.\(T(x_1,x_2)=(x_1^2,x_2^2)\)

B.\(T(x_1,x_2)=(x_1+x_2,x_1-x_2)\)

C.\(T(x_1,x_2)=(x_1x_2,x_1/x_2)\)

D.\(T(x_1,x_2)=(x_1,x_2^2)\)

答案：B

10.下列哪个是欧氏空间（）。

A.\(\mathbb{R}^n\)，标准内积

B.\(\mathbb{R}^n\)，内积定义为\((x,y)=\sum_{i=1}^na_