2025年典型数学试题及答案.docxVIP

2025年典型数学试题及答案

一、选择题

1.若集合\(A=\{x|x^23x+2=0\}\)，\(B=\{x|ax2=0\}\)，且\(A\cupB=A\)，则实数\(a\)的取值集合为（）

A.\(\{0,1,2\}\)

B.\(\{1,2\}\)

C.\(\{0,1\}\)

D.\(\{0,2\}\)

答案：A

解析：

先求解集合\(A\)，由\(x^23x+2=0\)，因式分解得\((x1)(x2)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。

因为\(A\cupB=A\)，所以\(B\subseteqA\)。

当\(B=\varnothing\)时，方程\(ax2=0\)无解，此时\(a=0\)。

当\(B\neq\varnothing\)时，\(B=\{x|ax2=0\}=\{\frac{2}{a}\}\)。

若\(\frac{2}{a}=1\)，则\(a=2\)；若\(\frac{2}{a}=2\)，则\(a=1\)。

综上，实数\(a\)的取值集合为\(\{0,1,2\}\)。

2.函数\(y=\log_{0.5}(x^24x+3)\)的单调递增区间是（）

A.\((\infty,1)\)

B.\((\infty,2)\)

C.\((3,+\infty)\)

D.\((2,+\infty)\)

答案：A

解析：

首先，要使函数\(y=\log_{0.5}(x^24x+3)\)有意义，则\(x^24x+30\)，因式分解得\((x1)(x3)0\)，解得\(x1\)或\(x3\)。

令\(t=x^24x+3=(x2)^21\)，函数\(y=\log_{0.5}t\)在\((0,+\infty)\)上是减函数。

对于二次函数\(t=(x2)^21\)，其对称轴为\(x=2\)，在\((\infty,2)\)上单调递减，在\((2,+\infty)\)上单调递增。

根据复合函数“同增异减”的原则，求\(y=\log_{0.5}(x^24x+3)\)的单调递增区间，即求\(t=x^24x+3\)的单调递减区间与定义域的交集。

所以\(y=\log_{0.5}(x^24x+3)\)的单调递增区间是\((\infty,1)\)。

二、填空题

3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(x,2)\)，且\(\overrightarrow{a}\perp(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})\)，则实数\(x=\)_____。

答案：9

解析：

先求出\(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=(1x,2(2))=(1x,4)\)。

因为\(\overrightarrow{a}\perp(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})\)，根据向量垂直的性质，若\(\overrightarrow{m}\perp\overrightarrow{n}\)，则\(\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=0\)。

所以\(\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})=1\times(1x)+2\times4=0\)，即\(1x+8=0\)，\(x=9\)，解得\(x=9\)。

4.若等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，\(a_1=1\)，\(S_3=9\)，则数列\(\{a_n\}\)的公差\(d=\)_____。

答案：2

解析：

等差数列的前\(n\)项和公式为\(S_n=na_1+\frac{n(n1)}{2}d\)。

已知\(a_1=1\)，\(S_3=9\)，将\(n=3\)，\(a_1=1\)代入\(S_n=na_1+\frac{n(n1)}{2}d\)中，得到\(S_3=3\times1+\frac{3\times(31)}{2}d\)。

即\(3+\frac{3\times2}{2}d=9\)，\(3+3d=9\)，\(3d=6\)，解得\(d=2\)。