因式分解技巧：十字相乘法与应用.pdfVIP

5十字相乘法

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对于二次三项式ax＋bx＋c的因式分解，最简单最有效的方法是十字相乘．

5.1知己知彼

通常是老师编题，学生解题．其实学生也可以编题．既会编题又会解题，那可真是“知

己知彼，百战不殆”了．

因式分解的题很容易编．比如说，取两个一次多项式x＋2与x＋3相乘，x＋2排竖式

x+2

x+3

3x+6

2

x+2x

2

x+5x+6

2

得积为x＋5x＋6，那么就可以编一道题：

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【例1】分解因式：x＋5x＋6．

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编题的人早已心中有数：x＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)．（1）

解题的人解起来要费点神，关键是怎么求出2与3这两个数．

请看上面的竖式乘法，我们有2×3＝6，2＋3＝5（2x＋3x＝

5x）．即2、3这两个数的积是6，和是5．

因此，可以把6分解因数，得到2与3．当然，6还有其他的分解，比如说6＝1×6或(－

2)×(－3)或(－1)×(－6)，但是只有2与3的和为5，所以结果是（1）

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式．于是，我们得到分解x＋5x＋6这种二次三项式的方法：

先把常数项6分解为两个因数的积（不一定是正因数，也不一定是质数），再看一看这

两个因数的和是不是等于一次项的系数．如果等于一次项的系数，那么就产生了这个二次三

项式的因式分解．否则，取常数项的另一种分解，再进行检验．这样尝试几次，就可以得出

结果．如果你运气好或者经验多，兴许一次就可以成功．

这种算法采用下面的算式，非常方便：

1+2

1+3

+5

其中2与3时由6分解因数产生的，两道交叉的线表示应将线两端的数相乘（即1×3，

1×2），然后再相加，横线下的数表示所得的和．如果和等于一次项系数，那么就得到所需

的分解，算式中的第一行与第二行各表示一个因式，第一行1＋2，表示x＋2；第二行1＋3

表示x＋3．不难看出，这个算式实际上就是乘法竖式的省略写法，它被称为十字相乘．

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【例2】分解因式：x－7x＋6．

【解】这一次把6分解为2×3是不行的，应当把6分解为(－1)×(－6)．由算式

1−1

1−6

−7

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