离散数学模拟练习题04.docxVIP

一、填空题

1.集合与关系

设集合\(A=\{a,b,c,d\}\)，定义二元关系\(R\)为\(R=\{(a,a),(a,b),(b,a)\}\)，则\(R\)的自反闭包为\(\{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)\}\)。

2.命题逻辑

设命题公式\(G=(P\veeQ)\wedge\negR\)，若\(P\)为真，\(Q\)为假，\(R\)为真，则\(G\)的真值为假。

3.图论

设无向图\(G\)有6个顶点和9条边，若\(G\)是连通的，则\(G\)是树的条件是它恰好有5个顶点的度数为1。

4.组合数学

设集合\(A\)和\(B\)的元素个数分别为\(m\)和\(n\)，则\(A\)和\(B\)的笛卡儿积\(A\timesB\)的子集个数为\(2^{mn}\)。

二、选择题

1.集合运算

设集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{3,4,5\}\)，则\(A\capB\)的元素个数是1。

2.关系性质

设集合\(A=\{1,2,3\}\)，定义关系\(R=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\)，则\(R\)是循环群的条件是它满足传递性和对称性。

3.命题公式

设命题公式\(G=\neg(P\wedge\negQ)\)，则\(G\)的主析取范式为\(P\veeQ\)。

4.图论

设完全二叉树\(T\)有15个顶点，其中8个为叶结点，则\(T\)的总度数为28。

5.布尔代数

设布尔代数\(\langleA,\vee,\wedge,\neg\rangle\)中，元素\(a\)满足\(a\veea=a\)和\(a\wedgea=a\)，则\(a\)是\(A\)中的幺元。

三、解答题

1.集合运算与关系性质

\(A\cupB\)

\(A\capC\)

\(AB\)

\((A\cupB)\capC\)

解答思路：

并集：将集合\(A\)和\(B\)中的所有元素合并，去除重复项。

交集：找出集合\(A\)和\(C\)中共同的元素。

差集：从集合\(A\)中移除集合\(B\)中的元素。

复合集：先求\(A\cupB\)，再与\(C\)求交集。

答案：

\(A\cupB=\{1,2,3,4\}\)

\(A\capC=\{3\}\)

\(AB=\{1\}\)

\((A\cupB)\capC=\{3,4\}\)

2.命题逻辑与公式化简

题目：设命题公式\(G=(P\veeQ)\wedge\negR\)，其中\(P\)为真，\(Q\)为假，\(R\)为真。求\(G\)的真值。

解答思路：

根据命题逻辑的真值表，逐项分析\(P\veeQ\)和\(\negR\)的结果。

结合\(\wedge\)运算，得出\(G\)的真值。

答案：

\(P\veeQ\)为真（因为\(P\)为真）。

\(\negR\)为假（因为\(R\)为真）。

\(G=(真\wedge假)=假\)。

3.图论与树

题目：设无向图\(G\)有6个顶点和9条边，且\(G\)是连通的。判断\(G\)是否为树，并说明理由。

解答思路：

树的定义：连通且无环的图。

顶点与边的关系：树中边数\(e\)满足\(e=v1\)，其中\(v\)为顶点数。

判断：计算\(e\)并与\(v1\)比较。

答案：

\(e=9\)，\(v=6\)，\(9\neq61\)。

因此，\(G\)不是树。

4.组合数学与计