对内层的二重积分用极坐标3利用球面坐标计算三重积分球面坐标.pptVIP

解例7旋转曲面方程是用柱面坐标计算,本题也可以这样解:由“先二后一”法,解例7（对内层的二重积分用极坐标）3.利用球面坐标计算三重积分球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标系中的体积元素为如图，例8解例9解则球面方程为锥面方程为(2)柱面坐标系,(3)球面坐标系下化为三次积分。ⅠⅡ由解(1)直角坐标系因此，?在xOy面上的投影区域为圆域：例10(1)直角坐标系,ⅠⅡ穿线法,ⅠⅡ(2)柱面坐标系ⅠⅡ(3)球面坐标系将?向xOy面投影,得任取一过z轴作半平面,在半平面上,任取一过原点作射线,得得补充:利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性解积分域关于坐标面xOy对称，被积函数是z的奇函数,所以例11利用对称性简化计算其中积分区域解例12用柱面坐标,解所围成的立体如图，所围成立体的投影区域如图，所求体积为所围立体在xOy面上的投影是利用对称性做积分在利用对称性做积分时，既要注意积分区域的对称性，又要注意被积函数的对称性。二、利用极坐标系计算二重积分在下述两种情况下,往往利用极坐标来计算二重积分：1)当积分区域D为圆域、环域或扇形域等时,D的边界用极坐标表示较为简单；2)被积函数具有等形式时,用极坐标积分较为容易.直角坐标与极坐标的转换关系为：所以面积元素为二重积分化为极坐标下二次积分的公式区域特征如图解例1在极坐标系下,例2解例3解例4.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解设由对称性可知例5解直接做麻烦,化为极坐标,解例6解所以例7在极坐标系下,圆方程为直线方程为解计算二重积分例8由对称性,可只考虑第一象限部分,注意：被积函数也要有对称性.例9解所以于是第三节三重积分一、三重积分的概念1.利用直角坐标计算三重积分二、三重积分的计算方法一：“先一后二”法(“穿线”法).得次序：先z,次y,后x.例1解所以解例2得交线投影区域解例3方法二:“先二后一”法(切片法，截面法).解例4zxy（用极坐标计算）例5解法一（穿线法）zxy解法二（切片法）10（对内层的二重积分作极坐标代换）2.利用柱面坐标计算三重积分规定：柱面坐标与直角坐标的关系为柱面坐标系中的体积元素为解例6用柱面坐标,得*特点：平顶.曲顶柱体体积=？特点：曲顶.１．曲顶柱体的体积一、二重积分的概念柱体体积=底面积╳高第一节二重积分的概念与性质基本步骤用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲顶柱体的体积分割近似求和极限２．求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量二重积分的定义积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素即在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为二重积分的直角坐标表示二、二重积分的性质下面假定f(x,y),g(x,y)在闭区域D上连续,A为D的面积.性质1线性性质性质2区域可加性这里A为D的面积.性质3性质4性质5估值性质性质6(二重积分的中值定理)证由性质5知,得证.解解解比较下列积分的大小：与其中D:oyx(3,0)(1,0).D在区域D内，显然有故在D内P137,4(2)解设积分区域可表示为：其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分第二节二重积分的计算法X-型应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,一般地，X-型域上的二重积分可以表示为先对y积分后对x积分的二次积分—先对y积分，后对x积分的二次积分记为设D可表示为则如果积分区域为：—先对x积分，后对y积分的二次积分Y-型将化为二次积分,其中D由直线围成。解法1先画出积分区域D，将D向y轴投影，先x后y,例1解法2先y后x,将D向x轴投影,计算其中D由直线围成。