2026届高三二轮复习课件 数学 专题6 函数与导数 融合创新4 函数与导数中的新定义.pptxVIP

融合创新(四)函数与导数中的新定义

创新点1函数与导数中的新定义问题创新点2以高等数学为背景的新定义问题目录索引真题解构函数与导数

从近年高考命题趋势分析,函数与导数相关的新定义问题正日益成为考查的重点与难点,其在试卷中的比重呈现稳步上升态势,且题目难度普遍较高.这类试题虽然形式新颖多变,但其核心考查内容仍根植于函数与导数的知识体系,要求考生深刻理解相关概念的本质内涵.在考查维度上,不仅检验学生对基础知识的掌握程度,更着重评估其创新思维能力、逻辑推理能力以及知识迁移运用能力,充分体现了高考选拔性考试的特征.

创新点1函数与导数中的新定义问题

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创新点2以高等数学为背景的新定义问题

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根据以上三段材料,完成下面的题目:(1)求出f1(x)=sinx在点x=0处的3阶泰勒展开式g1(x),并直接写出f2(x)=cosx在点x=0处的3阶泰勒展开式g2(x);(2)比较(1)中f1(x)与g1(x)的大小;(3)证明:ex+sinx+cosx≥2+2x.?

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所以当-1x0时,m(x)0,所以m(x)单调递减;当0x1时,m(x)0,所以m(x)单调递增.所以m(x)min=m(0)=2+e-1-e0,又m(-1)=2e-10,m(1)=2e-10,所以由函数零点存在定理知,?x1∈(-1,0),x2∈(0,1),使得m(x1)=0,m(x2)=0.所以当a=1时,f(x)在区间[-1,1]上的“拉格朗日中值点”的个数为2.

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真题解构函数与导数

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解题分析题意理解序号信息读取信息加工12f(x)在区间(0,+∞)存在唯一的极值点f(x)在区间(0,+∞)上先增再减或先减再增3f(x)在区间(0,+∞)存在唯一的零点根据f(x)的单调性以及函数值的正负情况判断4g(t)=f(x1+t)-f(x1-t)

思路探求关键步骤思维要点思维缘由(第(1)问)确定f(x)的单调性f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减(第(1)问)证明有唯一零点存在唯一x2∈(0,+∞)使得f(x2)=0f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,f(0)=0,当x=x0时,f(x)0,当x→+∞时,f(x)0(第2(ⅰ)问)证明单调性g(t)在区间(0,x1)单调递减证明g(t)0在区间(0,x1)上恒成立(第2(ⅱ)问)比较并证明大小2x1x2由g(t)在区间(0,x1)单调递减得0f(2x1),再结合f(x2)=0和f(x)的单调性及函数值的情况可证

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(ⅱ)解2x1x2.证明如下,由(ⅰ)知,g(x1)g(0)=0,所以g(x1)=f(2x1)-f(0)0,即f(2x1)f(0)=0,(15分)又x2为f(x)的零点,所以f(x2)=0,所以f(2x1)f(x2).由(1)知,f(x)在(x1,+∞)上单调递减,且x2x1,所以2x1x2.(17分)

回顾反思利用导数研究函数的性质是高中数学的重点和热点,解决问题的关键是能熟练求导,并能通过导函数的特征判断函数的单调性、极值、最值等结论.本题先求导,再构造函数,通过函数的单调性以及特殊点函数值正负,证明极值点和零点的唯一;第(2)(ⅰ)证明函数单调递减也就是证明g(t)0在给定区间上恒成立;并由此结论结合f(x2)=0可证明(ⅱ).试题源于人A必一第155页7题,第156页13题,人A选必二第87页例3,第92页2题;人B选必三第99页例3.