第六章线性空间.PPTVIP

是中n个线性无关的向量，在基下，对于向量，有

因此，在基下的坐标为

例3如果把复数域K看作是自身的线性空间，那么它是一维的，数1就是一组基；如果看作是实数域上的线性空间，那么就是二维的，数1与i就是一组基。维数是和所考虑的数域有关的。在n维线性空间V中，向量是V的一组基。设是V中任一向量，因此可以被基线性表出：解方程组求出系数一般情况BACK§4基变换与坐标变换基变换坐标变换基变换过渡矩阵在n维线性空间中，任意n个线性无关的向量都可以取作空间的基。对不同的基，同一个向量的坐标一般是不同的。§3的例子已经说明了这一点。现在我们来看，随着基的改变，向量的坐标是怎样变化的。设与是n维线性空间Ｖ中两组基，它们的关系是设向量在这两组基下的坐标分别是与，即

现在找出与的关系。为了写起来方便，我们引入一种形式的写法。把向量

写成

（1）可以写成矩阵称为由基到的过渡矩阵，它是可逆的。

在利用形式写法来作计算之前，我们首先指出这种写法所具有的一些运算规律。设和是V中两个向量组，

是两个n×n矩阵，那么现在回到本节所要解决的问题上来。由(2)有

坐标变换公式

用（4）代入，得与（3）比较，由基向量的线性无关性，得或者(5)与(6)给出了在基变换(4)下，向量的坐标变换公式。

例在§3例2中，我们有这里

就是过渡矩阵。因此

也就是

与§3所得出的结果是一致的。BACK§5线性子空间子空间的定义如何证明是子空间有关的结论基的扩充子空间的定义定义7在通常的三维几何空间中，考虑一个通过原点的平面,对向量的加法与数乘，是否构成一个线性空间？数域Ｐ上线性空间Ｖ的一个非空子集合Ｗ称为Ｖ的一个线性子空间（或简称子空间）。如果Ｗ对于Ｖ的两种运算也构成数域Ｐ上的线性空间。下面我们来分析一下，一个非空子集合要满足什么条件才能成为子空间。设W是V的子集合。因为V是线性空间。所以对于原有的运算，W中的向量满足线性空间定义中的规则1),2),5),6),7),8)是显然的。为了使W自身构成一线性空间，主要的条件是要求W对于V中原有运算的封闭性，以及规则3)与4)成立。现在把这些条件列在下面：

如何证明是子空间1.如果W中包含向量，那么W就一定同时包含域P中的数k与的数量乘积2.如果W中包含向量与，那么W就同时包含与的和。3.0在W中。4.如果W中包含向量，那么也在W中不难看出3，4两个条件是多余的，它们已经包含在条件1中作为k=0与–1这两个特殊情形。因此，我们得到定理2如果线性空间V的非空子集合W对于V的两种运算是封闭的，也就是满足上面的条件1，2，那么W就是一个子空间。既然线性子空间本身也是一个线性空间，上面我们引入的概念，如维数、基、坐标等。所以，任何一个线性子空间的维数不能超过整个空间的维数。例1在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间，它叫做零子空间。

例2线性空间V本身也是V的一个子空间。在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两个子空间有时候叫做平凡子空间，而其它的线性子空间叫做非平凡子空间。例3在全体实函数组成的空间中，所有的实系数多项式组成一个子空间。例4