第七章 信道编码.ppt

5.4.3伴随式与译码例5.4.3构造一个m=3的二元(7，4)汉明码解：所谓构造就是求一个(7，4)汉明码的生成矩阵。先利用汉明码的特性构造一个校验矩阵H,再通过列置换将它变为系统形式；生成矩阵G为由于生成矩阵G中包含了单位阵，矩阵的秩是4，所以矩阵G的4行是4个线性无关的基底，可以张成一个包含码字的码空间。第29页，共70页，星期日，2025年，2月5日5.4.3伴随式与译码重量估值算式二进制汉明码的概念也可扩展到多进制，推出GF(q)域上的汉明码。在q进制中，一个码元上的差错位置就可以有(q-1)种，n个码元上的差错位置有n(q-1)种。高莱（Golay）码〖HT〗是二进制（23，12）线性码，其最小距离dmin=7，纠错能力t=3。，即因此它也是完备码。在(23,12)码上添加一位奇偶位即得二进制线性（24，12）扩展高莱码，其最小距离dmin=8。第30页，共70页，星期日，2025年，2月5日5.4.4循环码循环码线性码的一个子集，它满足下列循环移位特性：码集C中任何一个码字的循环移位仍是码字。循环码的k个基底可以是同一个基底循环k次得到.根据循环码的定义，n重形式的码字的循环移位可表示为比较循环移位的前后可用如下的多项式运算来表达循环移位：第31页，共70页，星期日，2025年，2月5日5.4.4循环码从近世代数观点看，GF(2)上次数小于n的多项式在模2加、模乘法运算下构成了一个交换环，从多项式环的性质出发，有如下结论(证明略)一个(n,k)循环码的码多项式是模乘运算下多项式交换环的一个主理想子环，反之，多项式交换环的一个主理想子环一定可以产生一个循环码。GF(2)上(n,k)循环码中，存在着唯一的一个次数最低即(n-k)次的首一码多项式g(x)(3)(n,k)循环码的生成多项式g(x)一定是的因子即g(x)｜,这里的“｜”表示“整除”，或写成=g(x)h(x).构造(n,k)循环码的步骤：对作因式分解，找出其(n-k)次因式。以该(n-k)次因式为生成多项式g(x)，与不高于(k-1)次的信息多项式m(x)相乘，即得码多项式C(x)=m(x)g(x)，C(x)的次数不高于(k-1)+(n-k)=(n-1)次。第32页，共70页，星期日，2025年，2月5日5.4.4循环码反多项式设f(x)是k次多项式，则f(x)的反多项式定义为若循环码生成多项式则生成矩阵是注意，通过这种方法获得的生成矩阵不是系统形式的。第33页，共70页，星期日，2025年，2月5日5.4.4循环码系统循环码可通过如下步骤得到：将消息多项式m(x)乘以将m(x)除以g(x)得到余式r(x)将r(x)加在m(x)后面例5.4.5(7，4)循环码的生成多项式为求(1)该循环码系统形式的生成矩阵。(2)用生成多项式g(x)编出消息(1001)的系统循环码字。(3)用带反馈的移存器实现上述运算。解:略用除法器实现(7，4)循环码编码器第34页，共70页，星期日，2025年，2月5日5.4.4循环码CRC码循环码作为线性分组码的子类可以采用缩短的办法。缩短循环码就是在(n,k)循环码的个码字中挑选出前i位均为0的所有码字，组成一个新的(n-i,k-i)缩短循环码码集，该码集是原循环码码集的一个子集，子集里所有码多项式的阶数均小于n-i且能够被生成多项式g(x)整除。(n-i,k-i)缩短循环码的纠错能力与原(n,k)循环码完全一样所有码多项式一定能够被g(x)整除第35页，共70页，星期日，2025年，2月5日5.4.4循环码BCH码BCH（Bose：Chaudhuri-Hocquenghem）码是循环码中的一大子类，它可以是二进制码，也可以是非二进制码。二进制本原BCH码具有下列参数其生成多项式g(x)包含2t个连续幂次的根。包含于g(x)中的最小多项式一定满足若对于每个j,j=1,2，…，2t,均有第36页，共70页，星期日，2025年，2月5日5.4.4循环码RS码RS码(Reed-Solomon里德-索罗门码)属于BCH码的一个子类