第48讲空间向量与立体几何-原卷版.docxVIP

第48讲空间向量与立体几何

通关一、空间坐标系

在空间直角坐标系中,让右手拇指指向轴的正方向,食指指向轴的正方向,如果中指指向轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.

通关二、平面法向量的求法

(4)解方程组,取其中的一组解,即得法向量.

要点诠释：

通关三、用向量法求空间角

1.求异面直线所成的角

(1)选好基底或建立空间直角坐标系;

(2)求出两直线的方向向量，；

2.求线面角

(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）;

(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.

3.求二面角

(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.

(2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

结论一、空间向量的基本定理

(1)；（2）；(3)；(4).

结论二、空间向量的坐标运算

(1)求线段,的长;

(2)求证:这四点,,,共面;

(4)求向量与所成的角.

结论三、平行的判定和性质

设直线，的方向向量分别为,,平面，的法向量分别为,.

（其中，为平面内的两个不共线的向量)；

结论四、垂直的判定和性质

设直线，的方向向量分别为,，平面，的法向量分别为，.

结论五、点到面的距离

(2)求异面直线与所成角的大小；

结论六、线线角

要点许释：

(1)写出,,,的坐标;

(3)求异面直线与所成角的余弦值.

求异面直线和所成角的大小.

（2）求异面直线和所成角的余弦值.

结论七、线面角

设直线的方向向量为，平面的法向量为，则与所成角满足：

（1）求与所成角的大小；

结论八、二面角

（3）求直线与所成的角；