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全等三角形难题

几何学习，犹如在平面上进行一场逻辑的舞蹈，而全等三角形，无疑是这场舞蹈中最基础也最核心的舞步。它不仅仅是证明线段相等、角相等的利器，更是培养逻辑推理能力、空间想象能力的绝佳载体。许多同学在初学全等时，对那些直接套用判定定理（SSS,SAS,ASA,AAS,HL）的题目游刃有余，但当题目条件变得隐晦，图形结构趋于复杂时，便容易感到困惑。本文旨在精选几道具有代表性的全等三角形难题，通过细致的分析与严谨的推理，与读者一同探寻解题的路径，感受几何思维的魅力。

一、拨开迷雾：辅助线的巧妙构造

在全等三角形的证明中，辅助线的添加往往是解题的关键。它能将分散的条件集中，将隐藏的关系显现。如何根据题目的“蛛丝马迹”，恰到好处地引出辅助线，是我们需要重点锤炼的能力。

例题1：已知，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC延长线上一点，且CD=BC。连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点F。求证：BF=CD。

分析：本题图形看似简单，但直接证明BF=CD（已知CD=BC，故也可证BF=BC）并非易事。已知AB=AC，∠BAC=90°，提示我们这是一个等腰直角三角形，∠ABC=∠ACB=45°。点D在BC延长线上，CD=BC，意味着BC=CD，即C为BD中点？不，CD=BC，所以BD=BC+CD=2BC，C是BD的中点吗？是的，因为BC=CD，所以C是BD中点。CE⊥AD，这是一个直角条件。

要证BF=CD，而CD=BC，我们不妨看看BF与BC的关系。若能证明△BFC是等腰三角形，即BF=BC，则问题得证。要证BF=BC，可证∠BFC=∠BCF。

∠BFC在△AFE中，∠BFC=∠AFE=90°-∠FAE（因为CE⊥AD，∠AEF=90°）。∠BCF呢？∠BCF在△ACD中，或者说，能否找到与∠BCF相等的角？

连接AD后，∠CAD是△ABD的一个内角。CE⊥AD，所以∠AEC=90°。我们尝试从角度关系入手。

设∠FAE=α，因为∠BAC=90°，所以∠CAD=90°-α。

在Rt△AEC中，∠ACE=90°-∠CAD=90°-(90°-α)=α。

∠ACB=45°，∠ACB=∠ACE+∠ECB，即45°=α+∠ECB，所以∠ECB=45°-α。

在Rt△AEF中，∠AFE=90°-α，而∠AFE=∠BFC（对顶角相等），所以∠BFC=90°-α。

在△BFC中，∠FBC=45°（等腰直角三角形底角），∠BFC=90°-α，那么∠BCF=180°-∠FBC-∠BFC=180°-45°-(90°-α)=45°+α。

咦，刚才我们得到∠ECB=45°-α，而∠BCF=∠ECB吗？显然不是，∠BCF是∠BCE吗？是的，点F在AB上，E在AD上，CE交AB于F，所以∠BCF就是∠BCE，即∠ECB。但我们算出来∠BCF（即∠ECB）=45°-α，而上面又算出∠BCF=45°+α，这显然矛盾。问题出在哪里？

哦，我犯了一个错误。∠CAD是∠FAE吗？不是。点F在AB上，E在AD上，CE交AB于F，所以∠FAE其实就是∠BAD，而∠CAD=∠BAC+∠BAD=90°+∠BAD（因为D在BC延长线上，所以∠CAD是∠BAC的外角？不，BAC是90°，D在BC延长线上，所以AD是从A出发，经过△ABC外部到D，所以∠CAD=∠BAC+∠BAD？不，应该是∠BAD是∠CAD的一部分。正确的表述是：∠BAD=α，则∠CAD=∠BAC-∠BAD=90°-α（因为F在AB上，所以∠BAD即∠FAE，是∠BAC的一部分）。这样之前的设定就对了。那么∠ACB=45°，∠ACB=∠ACE+∠ECB，这里也对。∠ACE=α（在Rt△AEC中，∠ACE=90°-∠CAD=90°-(90°-α)=α）。所以∠ECB=45°-α。

而在△BFC中，∠FBC=45°，∠BFC是△AFE的外角吗？或者直接计算：∠BFC=180°-∠FBC-∠BCF=180°-45°-(45°-α)=90°+α。而在Rt△AEF中，∠AFE=90°-∠FAE=90°-α。∠AFE与∠BFC是对顶角，所以∠AFE=∠BFC，即90°-α=90°+α，推出α=0，这显然不可能。这说明我的角度设定或者分析路径有误。

看来，单纯从角度关系直接推导∠BFC=∠BCF遇到了困难。或许需要构造辅助线。考虑到AB=AC，∠BAC=90°，C是BD中点（BC=CD），能否构造以C为旋转中心的全等三角形？或者，过点B作AC的平行线？

另一个思路：要证BF=CD，CD=BC，所以目标是BF=BC。若能证明△BCF≌某个三角形，其对应边为BF和BC。或者，将BF和CD放到两个三角形中证明全等。

比如，证明△BFD≌△CDF？似乎条件不足。或者，过点B作BG⊥BC，交C