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2025年测度论期末考试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）

1.设集合A和B是可测集，则A和B的差集B\A一定是可测集。

A.正确

B.错误

答案：A

2.若函数f在区间[a,b]上连续，则f在[a,b]上可积。

A.正确

B.错误

答案：A

3.设μ是σ-有限测度，若A是可测集，则μ(A)必然有限。

A.正确

B.错误

答案：B

4.若E是可测集，则E的补集E^c也是可测集。

A.正确

B.错误

答案：A

5.设f是定义在可测集E上的非负可测函数，则∫_Efdμ存在当且仅当f在E上几乎处处为零。

A.正确

B.错误

答案：B

6.若μ是σ-有限测度，则对于任意可测集A，都有μ(A)=∑_{n=1}^∞μ(A_n)，其中{A_n}是A的递减可测集列。

A.正确

B.错误

答案：B

7.设E是可测集，若f是E上的可积函数，则f^2也是E上的可积函数。

A.正确

B.错误

答案：A

8.若E是可测集，则E的勒贝格测度是唯一的。

A.正确

B.错误

答案：A

9.设f是定义在[0,1]上的连续函数，则f是[0,1]上的勒贝格可积函数。

A.正确

B.错误

答案：A

10.若E是可测集，且μ(E)=0，则对于任意可测函数f，有∫_Efdμ=0。

A.正确

B.错误

答案：A

二、多项选择题（每题2分，共10题）

1.下列哪些是σ-有限测度的性质？

A.μ是σ-有限测度

B.对于任意可测集A，若μ(A)∞，则存在可测集B，B?A且μ(B)∞

C.μ是可数可加的

D.μ是有限的

答案：A,B,C

2.下列哪些函数在[0,1]上是勒贝格可积的？

A.f(x)=x

B.f(x)=1/x

C.f(x)=sin(x)

D.f(x)=e^x

答案：A,C,D

3.下列哪些是可测函数的性质？

A.f是可测函数，则f^2是可测函数

B.f和g是可测函数，则f+g是可测函数

C.f是可测函数，则1/f是可测函数

D.f是可测函数，则f在几乎处处点处连续

答案：A,B

4.下列哪些是可测集的性质？

A.空集是可测集

B.可数个可测集的并集是可测集

C.任意可测集的补集是可测集

D.有限个可测集的交集是可测集

答案：A,B,C,D

5.下列哪些是勒贝格测度的性质？

A.勒贝格测度是σ-有限的

B.勒贝格测度是可数可加的

C.勒贝格测度是有限的

D.勒贝格测度是连续的

答案：A,B,D

6.下列哪些是勒贝格积分的性质？

A.若f是可积函数，则|f|是可积函数

B.若f和g是可积函数，则f+g是可积函数

C.若f是可积函数，且a是常数，则af是可积函数

D.若f是可积函数，则f^2是可积函数

答案：A,B,C,D

7.下列哪些是测度空间的性质？

A.测度空间是包含一个集合X，一个σ-代数Ω和一个定义在Ω上的测度μ

B.测度空间是满足μ(?)=0

C.测度空间是满足可数可加性的

D.测度空间是满足有限可加性的

答案：A,B,C

8.下列哪些是可积函数的性质？

A.若f是可积函数，则f在几乎处处点处连续

B.若f是可积函数，则f^2是可积函数

C.若f是可积函数，且g是几乎处处等于f的函数，则g也是可积函数

D.若f是可积函数，则|f|是可积函数

答案：B,C,D

9.下列哪些是可测集列的性质？

A.可测集列的极限是可测集

B.可测集列的并集是可测集

C.可测集列的交集是可测集

D.可测集列的补集是可测集

答案：B,C,D

10.下列哪些是勒贝格积分的性质？

A.若f是可积函数，则∫_Efdμ=0当且仅当f在E上几乎处处为零

B.若f是可积函数，则∫_E|f|dμ∞

C.若f是可积函数，且g是几乎处处等于f的函数，则∫_Egdμ=∫_Efdμ

D.若f是可积函数，则∫_Efdμ=∫_{E_1}fdμ+∫_{E_2}fdμ，其中E=E_1∪E_2且E_1和E_2不重叠

答案：A,B,C,D

三、判断题（每题2分，共10题）

1.若E是可测集，则E的勒贝格测度是唯一的。

A.正确

B.错误

答案：A

2.设f是定义在[0,1]上的连续函数，则f是[0,1]上的勒贝格可积函数。

A.正确

B.错误

答案：A

3.若E是可测集，且μ(E)=0，则对于任意可测函数f，有∫_Efdμ=0。

A.正确

B.错误

答案：A

4.设f是定义在可测集E上的非负可测函数，则∫_Efdμ存在当且仅当f在E上几乎处