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2026年上海市普通高校春季高考

数学仿真模拟卷03·参考答案

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1．22．?517,317

5．x|0x≤126．327．

9．23710．211．402?1

二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)

13

14

15

16

A

B

A

D

三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）

17．【解析】（1）由，（2分）

则最小正周期，即.（4分）

令，

解得，

则单调减区间.（6分）

（2）因为，则，（8分）

当时，，（10分）

若恰有3个不相等的实数根，

则，解得，

则实数的取值范围为.（14分）

18．【解析】（1）取中点，连接，，

由是的中点，故，且，（2分）

由是的中点，故，且，

则有、，故四边形是平行四边形，故，（4分）

又平面，平面，

故平面；（5分）

（2）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，.

由题意、、、、、，

则有，，.（6分）

设平面的法向量分别为，

则有，取，则、，即，

设平面的法向量分别为，

则有，取，则、，即，（8分）

设平面与平面所成角的大小为，则，

故平面与平面的夹角余弦值为；（10分）

（3）由，平面的法向量为，（12分）

故点B到平面的距离为.（14分）

19．【解析】（1）如图，延长，交AC于点G，过点G作，H为垂足，

在中，，，所以，

在中，，，所以，（2分）

所以；

同理可得；（4分）

所以；（6分）

（2）令，（8分）

则，所以，（10分）

令，问题即转化为关于t的方程在上是否有解，

方程整理得．（10分）

令，则其图象的对称轴方程为，

所以在上单调递增．（12分）

又因为，所以方程在上无解，

因此该货车不能顺利通过该弯道．（14分）

20．【解析】（1）因为椭圆的离心率为，且，（2分）

所以，解得，

故椭圆的方程为.（4分）

（2）设直线的方程为，，，

由，得，

，即，

则，，（6分）

而，，直线斜率，

，，由在椭圆上，

得到，即，

因此，

由题意得，即（8分）

由，在直线l上，得，，

则

，

而，解得，此时，

则直线的方程为，即直线过定点.（10分）

（3）由（1）知，设，，，

连接，交于，

四边形为平行四边形，为的中点且与轴既不垂直也不平行，

法一：，（12分）

，，即记为①，

又，，，

直线的方程为，（14分）

∴由得，

由得记为②，

由①②得，（16分）

对任意的恒成立，

，即，的最小值为.（18分）

法二：设，将与联立消得.

由韦达定理可得，且，

即记为①，（12分）

，，

，，

得，，

，（14分）

点，，

即，

令，其中，，

我们把记为②式，把记为③式，

由②得，代入③得，

代入①得，（16分）

解得，，，

，，的最小值为.（18分）

21．【解析】（1）函数，求导得，（2分）

，恒成立，

所以是上的函数.（4分）

（2）由为上的函数，，

得，（6分）

取，得，反之当时，在恒成立，

令，求导得，且的为离散的点，

因此为严格减函数，又，则，（8分）

又，

所以t的取值范围是：且.（10分）

（3）（充分性）对任意与恒成立，则对任意正整数，有：，

因此为上的函数，即充分条件成立；（12分）

（必要性）即对任意正整数，有①，

记函数的最大值为，

先证明恒成立，

反证法，假设存在使得，则取正整数，使得，

此时有，与①矛盾，因此假设错误，即；（14分）

再证明恒成立，

取为的一个最大值点，

则当时，由单调性知，但，则，

于是，（16分）

对任意，可取一个与有关的正整数，使得，

由②知：，因此必要性成立，

所以原命题正确．（18分）