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二次函数经典练习题

二次函数作为初中数学的核心内容，其概念、图像与性质贯穿了代数与几何的多个方面，也是后续学习更高阶数学知识的重要基石。掌握二次函数，不仅意味着能够熟练运用公式，更在于培养数形结合、分类讨论等重要的数学思想。以下精选的经典练习题，将从基础概念到综合应用，帮助你系统梳理二次函数的知识脉络，提升解题能力。

一、基础巩固篇：夯实概念，理解本质

例题1：二次函数的解析式与基本性质

已知二次函数的图像经过点A(1,2)、B(-1,6)和C(0,3)，请解答下列问题：

(1)求此二次函数的解析式；

(2)指出该函数图像的开口方向、顶点坐标及对称轴；

(3)当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大或最小值，其值是多少？

解析与点评：

求二次函数解析式是入门级也是核心技能。对于已知三点坐标的情况，通常采用一般式y=ax2+bx+c(a≠0)，将三点坐标代入得到三元一次方程组，求解即可。这里需要注意计算的准确性。

得到解析式后，通过配方或利用顶点坐标公式(-b/(2a),(4ac-b2)/(4a))可求得顶点坐标与对称轴。开口方向由二次项系数a的符号决定，a0开口向上，函数有最小值；a0开口向下，函数有最大值。增减性则以对称轴为界，结合开口方向进行判断。此题为基础题型，务必熟练掌握。

例题2：二次函数与坐标轴的交点

二次函数y=x2-2x-3。

(1)求它与x轴的交点坐标；

(2)求它与y轴的交点坐标；

(3)结合图像，说出当x为何值时，y0；y=0；y0。

解析与点评：

函数与坐标轴的交点是其图像的重要特征。与y轴交点，令x=0，求出y值即可。与x轴交点，令y=0，解一元二次方程，方程的根即为交点的横坐标。这里涉及到二次方程的求解，以及如何通过图像来理解函数值的正负区间——这正是二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间内在联系的体现。理解了这一点，就能直观地从图像上看出不等式的解集。

二、能力提升篇：综合应用，深化理解

例题3：二次函数图像的平移与变换

已知抛物线y=2x2。

(1)如何平移该抛物线，才能得到抛物线y=2(x-1)2+3？请描述平移过程。

(2)平移后的抛物线的顶点坐标、对称轴分别是什么？

解析与点评：

二次函数的平移是考察其顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)的重要题型。理解“左加右减，上加下减”的规律是关键，但更重要的是理解其几何意义：h值的变化影响图像的左右平移，k值的变化影响图像的上下平移。在解决此类问题时，建议先将函数解析式化为顶点式，明确顶点坐标的变化，从而确定平移的方向和距离。这不仅锻炼了对顶点式的掌握，也培养了空间想象能力。

例题4：二次函数与几何图形的结合

如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且OA=1，OC=3。

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P是抛物线上位于第一象限内的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的最大值。

解析与点评：

这类题目将二次函数与几何图形（尤其是三角形）结合起来，综合性较强。第一问通常是利用几何条件（如线段长度、特殊点坐标）求出函数解析式。第二问则常涉及图形面积的最值问题。求面积最值时，常用的方法有待定系数法表示出动点坐标，然后利用割补法或铅垂高法等表示出三角形的面积，将其转化为关于自变量的二次函数，再利用二次函数的性质求出最值。这里需要注意自变量的取值范围，确保动点确实在指定的象限或区域内。

例题5：二次函数与一元二次方程根的分布

已知关于x的二次函数y=x2-(m+2)x+m+5。

(1)求证：不论m取何值，该函数的图像与x轴总有两个不同的交点；

(2)若该函数的图像与x轴的两个交点都在x轴的正半轴上，求m的取值范围。

解析与点评：

此题为二次函数与一元二次方程根的判别式、根与系数关系（韦达定理）的综合应用。第一问证明图像与x轴总有两个不同交点，即证明对应的一元二次方程的判别式Δ0恒成立。第二问要求两个交点都在正半轴，意味着方程有两个正实数根，此时需要同时考虑判别式Δ≥0、两根之和大于0、两根之积大于0这三个条件。这类题目考察了对代数条件的几何意义的理解，以及综合运用知识解决问题的能力。

三、解题策略与反思

1.数形结合是灵魂：学习二次函数，必须养成画图的习惯。图像是理解函数性质、解决函数问题最直观的工具。从图像上可以清晰地看出开口方向、顶点、对称轴、增减性、与坐标轴的交点等关键信息。

2.掌握三种解析式的灵活转化：一般式、顶点式、交点式（两根式）各有特点，要根据题目给出的条件和所求问题，选择最简便的解析式形式