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三角函数公式汇总

三角函数作为数学中的重要分支，在几何、物理、工程等众多领域都有着广泛的应用。掌握其基本公式是学好三角函数的基础。本文将系统梳理三角函数的核心公式，旨在为读者提供一份清晰、实用的参考资料，帮助大家更好地理解和运用这些工具。

一、三角函数的基本定义

在直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P的坐标为(x,y)，它与原点的距离为r(r0)，则有：

正弦函数：sinα=y/r

余弦函数：cosα=x/r

正切函数：tanα=y/x(x≠0)

余切函数：cotα=x/y(y≠0)

正割函数：secα=r/x(x≠0)

余割函数：cscα=r/y(y≠0)

这些定义是所有三角函数公式的源头，理解它们对于后续公式的推导和记忆至关重要。

二、同角三角函数的基本关系

同一个角的不同三角函数之间存在着基本的恒等关系，主要包括：

1.平方关系：

sin2α+cos2α=1

1+tan2α=sec2α

1+cot2α=csc2α

2.商数关系：

tanα=sinα/cosα

cotα=cosα/sinα

3.倒数关系：

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

这些关系是进行三角恒等变换的基础，可以实现不同三角函数间的相互转化。

三、诱导公式

诱导公式用于将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，其核心思想是“奇变偶不变，符号看象限”。这里的“奇”和“偶”指的是π/2的倍数的奇偶性，“变”与“不变”指的是三角函数名称的变化（正弦变余弦，正切变余切等），“符号看象限”则是将原角视为锐角时，原三角函数值在相应象限的符号。

常见的诱导公式可概括如下：

1.终边相同的角：

sin(α+2kπ)=sinα

cos(α+2kπ)=cosα

tan(α+2kπ)=tanα(k为整数)

2.关于x轴对称（α与-α）：

sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

tan(-α)=-tanα

3.关于y轴对称（α与π-α）：

sin(π-α)=sinα

cos(π-α)=-cosα

tan(π-α)=-tanα

4.关于原点对称（α与π+α）：

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tan(π+α)=tanα

5.与π/2±α相关：

sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)=sinα

tan(π/2-α)=cotα

sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

tan(π/2+α)=-cotα

理解并熟练运用诱导公式，能够有效简化三角函数的计算。

四、两角和与差的三角函数公式

两角和与差的三角函数公式是三角恒等变换的核心，它们将两个角的三角函数运算转化为单个角的三角函数运算。

1.正弦和差公式：

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

2.余弦和差公式：

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

3.正切和差公式：

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)(分母不为零)

这些公式的推导基于单位圆和向量的数量积等方法，在解决三角形问题、物理中的振动与波等问题中有着广泛应用。

五、二倍角公式

二倍角公式是两角和公式当α=β时的特殊情况，它将一个角的三角函数值与该角两倍角的三角函数值联系起来。

1.二倍角的正弦：

sin2α=2sinαcosα

2.二倍角的余弦（多种形式）：

cos2α=cos2α-sin2α

cos2α=2cos2α-1

cos2α=1-2sin2α

这三种形式可以根据需要相互转化，后两种形式常用于“降幂扩角”或“升幂缩角”。

3.二倍角的正切：

tan2α=2tanα/(1-tan2α)(分母不为零，且α≠π/4+kπ/2)

六、半角公式

半角公式将一个角的三角函数值用其半角的三角函数值表示，常用于三角函数的积分或化简。公式中根号前的符号由半角所在的象限决定。

1.半角的正弦：

sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2]

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