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第3章有限元法一）有限元法的基本思路1）把连续的弹性体进行离散化；离散原则:几何近似和物理近似2）建立单个单元内的位移函数-试函数；3）利用变分原理建立单元刚度方程-单元刚度阵和节点力向量4）在总体坐标系组装，建立整体刚度阵和力阵，建立有限元法基本方程，求解未知位移；5）求解单元的应力，应变等。*第30页，共50页，星期日，2025年，2月5日二）单元类型1）一维单元2）二维单元*第31页，共50页，星期日，2025年，2月5日三）三维单元*第32页，共50页，星期日，2025年，2月5日1.平面问题有限元法1.1结构离散时应注意的问题1）单元数目的确定应兼顾精度,经济性和计算机容量的要求；2）在初步分析的基础上进行离散；3）每单元上的各边边长应尽量接近，以提高计算精度。4）除边界点外，任意一个单元的角点（顶点或节点）必须同时也是相邻单元的角点，而不能是内点。*第33页，共50页，星期日，2025年，2月5日3）4）*第34页，共50页，星期日，2025年，2月5日1.2.2单元位移函数1）广义坐标系下单元位移函数注意项数的问题？*第35页，共50页，星期日，2025年，2月5日船舶与海洋工程学院第三章结构力学中的数值方法计算结构力学*第1页，共50页，星期日，2025年，2月5日2.1强形式和弱形式1.强形式(StrongFrom)解析方法闭合解级数解有限差分法2.弱形式(WeakFrom)瑞利-里兹法加权残值法伽辽金法最小二乘法配置法(配点法，子域法）矩量法有限元法边界元法（？）无网格法（？）求泛函的极值求解方法数理方程欧拉方程控制方程泛函积分方程*第2页，共50页，星期日，2025年，2月5日2.1强形式和弱形式3.解析解齐次方程为：其特征方程为:特征解为:齐次方程的通解为非齐次方程特解为原方程的通解为:利用边界条件：得到：最终解析解为:得，*第3页，共50页，星期日，2025年，2月5日2.2有限差分法FiniteDifferenceMethod-FDM直接求解控制方程?*第4页，共50页，星期日，2025年，2月5日2.2有限差分法*第5页，共50页，星期日，2025年，2月5日直接求解变分的积分方程的近似解法，如李兹法、加权残值法、有限元法等。—》开创了弹性力学问题的近似解法未知函数y(x)近似由线性组合给出：2.3瑞利-里兹法直接求解泛函积分方程?*第6页，共50页，星期日，2025年，2月5日2.3瑞利-里兹法—TheRayleigh-RitzMethod求泛函的极值问题解设为基函数解得从而求出数值解*第7页，共50页，星期日，2025年，2月5日【例题】【解答】2.3瑞利-里兹法*第8页，共50页，星期日，2025年，2月5日【例题】【解答】2.3瑞利-里兹法*第9页，共50页，星期日，2025年，2月5日2.3瑞利-里兹法*第10页，共50页，星期日，2025年，2月5日2.4加权残数法Weight-ResidualMethod残值控制方程?泛函积分方程*第11页，共50页，星期日，2025年，2月5日伽辽金法：配点法：最小二乘法：矩量法：权函数取控制方程在加权意义上的全域积分子域法：*第12页，共50页，星期日，2025年，2月5日2.4加权残数法：伽辽金法1）Bubnov-GalerkinMethod*第13页，共50页，星期日，2025年，2月5日2.4加权残数法：最小二乘法2）LeastSquaresMethod基函数*第14页，共50页，星期日，2025年，2月5日2.4加权残数法：配置法1）配点法(PointCollectionMethod)3）CollectionMethod一维?函数的主要性质*第15页，共50页，星期日，2025年，2月5日2.4加权残数法：配置法4）子域法(SubdomainCollectionMethod)ax1b将整个域V分成n个子域Vi（i=1,2,…,n）,权函数选为*第16页，共50页，星期日，2025年，2月5日2.4加权残数法：矩量法5）矩量法：*第17页，共50页，星期日，2025年，2月5日§2.5伽辽金法和李兹法的关系1）都是