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第2章随机过程习题及答案

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、

简述随机过程样本函数的含义。请举例说明一个随机过程，并描绘其一个可能的样本函数。

二、

设随机过程X(t)=Acos(ωt+Θ)，其中A是均值为1、方差为2的随机变量，Ω是均值为π/4、方差为π2/16的随机变量，且A与Ω独立。求随机过程X(t)的均值函数和方差函数。

三、

判断下列随机过程是否为平稳过程。说明理由。

（1）X(t)=Asin(t+B)，其中A和B是独立同分布的随机变量，且A,B服从[0,2π]上的均匀分布。

（2）X(t)=tsin(ω?t+Θ)，其中ω?是常数，Θ是在[0,2π]上均匀分布的随机变量。

四、

设{X(t),t≥0}是一个参数为λ的泊松过程。

（1）求过程{X(t),t≥0}的均值函数和协方差函数。

（2）证明在时间间隔(t,t+s]内发生k次事件的概率只依赖于时间差s。

五、

证明：如果一个随机过程{X(t)}是宽平稳过程，则其均值函数μX(t)是一个与时间无关的常数。

六、

设{X(t),t∈T}是一个随机过程，T=[0,∞)。若对任意t?,t?∈T，随机变量X(t?)-X(t?)的分布仅依赖于t?-t?，证明{X(t)}是一个马尔可夫过程。

七、

已知随机过程Y(t)=X(t)+Z(t)，其中{X(t)}是一个均值为0、方差为σ2的宽平稳过程，{Z(t)}是一个均值为0、方差为4的与{X(t)}独立的宽平稳过程。求Y(t)的均值函数、方差函数和自相关函数RY(τ)。

八、

设{X(t),t≥0}是一个维纳过程W(t)。求随机变量W(t)-W(s)（其中0≤st）的分布。

九、

考虑一个简单的随机游走过程：X(0)=0，对于n=1,2,...,X(n)=X(n-1)+Y_n，其中{Y_n}是独立同分布的随机变量，且Y_n服从P(Y_n=1)=P(Y_n=-1)=1/2。

（1）求X(1)的概率分布。

（2）证明{X(n),n≥0}是一个马尔可夫链。写出其状态空间和一步转移概率。

十、

设{X(t)}是一个宽平稳过程，其自相关函数R_X(τ)满足R_X(0)=1,R_X(1)=0.6,R_X(2)=0.25。求随机过程Y(t)=X(t)+X(t+1)的自相关函数R_Y(τ)。

试卷答案

一、

随机过程样本函数是指随机过程在给定一个特定样本点（或称实现）时，随时间变量t变化的函数。它是一个普通的函数，描述了在该特定样本下，随机过程在不同时刻的取值。例如，考虑随机过程X(t)=At+B，其中A是一个具有特定分布的随机变量，B是一个常数。那么对于每一个具体的样本点，我们得到一个样本函数x(t)=at+b，其中a是A在该样本点下的取值，b=B。这个样本函数描绘了随机过程在该样本点上的行为。

二、

均值函数E[X(t)]=E[Acos(ωt+Θ)]=E[A]*E[cos(ωt+Θ)]=1*(E[cos(ωt+Θ)])

由于A与Ω独立，且Ω服从[0,2π]均匀分布，所以E[cos(ωt+Θ)]=cos(ωt)*E[cos(Θ)]+sin(ωt)*E[sin(Θ)]

E[cos(Θ)]=cos(π/4)=√2/2,E[sin(Θ)]=sin(π/4)=√2/2

所以E[X(t)]=1*(cos(ωt)*√2/2+sin(ωt)*√2/2)=√2/2(cos(ωt)+sin(ωt))

方差函数Var(X(t))=E[X(t)2]-(E[X(t)])2

E[X(t)2]=E[A2cos2(ωt+Θ)]=E[A2]*E[cos2(ωt+Θ)]

E[A2]=Var(A)+(E[A])2=2+12=3

E[cos2(ωt+Θ)]=E[(1+cos(2ωt+2Θ))/2]=1/2*(1+E[cos(2ωt+2Θ)])

E[cos(2ωt+2Θ)]=cos(2ωt)*E[cos(2Θ)]+sin(2ωt)*E[sin(2Θ)]

由于2Θ仍在[0,2π]均匀分布，所以E[c