考研数学一(无穷级数,常微分方程)历年真题试卷汇编及答案.docxVIP

考研数学一(无穷级数,常微分方程)历年真题试卷汇编及答案

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、选择题：

1.已知级数∑_{n=1}^∞a_n收敛，且a_n0(n=1,2,...)，则下列级数中必定收敛的是（）。

(A)∑_{n=1}^∞(a_n+1)

(B)∑_{n=1}^∞a_n^2

(C)∑_{n=1}^∞\frac{a_n}{\sqrt{n}}

(D)∑_{n=1}^∞(-1)^na_n

2.设幂级数∑_{n=0}^∞c_nx^n的收敛半径为R=2，则幂级数∑_{n=0}^∞\frac{c_n}{n+1}x^n在|x|2内（）。

(A)必收敛

(B)必发散

(C)收敛半径为2

(D)收敛半径为1/2

3.设f(x)=\frac{x}{2}+\sum_{n=1}^∞\frac{(-1)^n}{n(n+1)}x^n，则f(x)的收敛域为（）。

(A)(-1,1)

(B)[-1,1]

(C)(-1,1]

(D)[-1,1)

4.微分方程y-4y+4y=0的通解为（）。

(A)y=(C_1+C_2x)e^{2x}

(B)y=C_1e^{2x}+C_2e^{-2x}

(C)y=e^{2x}(C_1\cosx+C_2\sinx)

(D)y=C_1\cos2x+C_2\sin2x

5.微分方程xy+y=x^2e^{-x}的通解为（）。

(A)y=x(e^{-x}+C)

(B)y=x^2(e^{-x}+C)

(C)y=x^2e^{-x}(1+C)

(D)y=x^2e^{-2x}(1+C)

6.已知函数y=y(x)满足微分方程x^2y-xy+y=x^3，且y(1)=1,y(1)=2，则y(2)的值为（）。

(A)5

(B)6

(C)7

(D)8

二、填空题：

1.级数∑_{n=1}^∞\frac{n}{2^n}的和为________。

2.函数f(x)=\ln(1+x)在x=0处的麦克劳林级数（Maclaurinseries）为________。（只需写出前4项非零项）

3.微分方程y+y=e^x的通解为________。

4.微分方程y-y=x的一个特解形式为________。（只需写出待定函数形式）

5.设y_1=x和y_2=x^2是二阶常系数线性微分方程y+p(x)y+q(x)y=0的两个解，则该微分方程的通解为________。

三、计算题：

1.判断级数∑_{n=1}^∞\frac{n\sin^2(\frac{n\pi}{6})}{2^n}的敛散性。

2.将函数f(x)=\frac{1}{x^2-3x+2}在x=1处展开成幂级数，并指出其收敛域。

3.求微分方程y-2y+y=xe^x的通解。

4.求微分方程xy+(x+1)y=x^2e^x的通解。

四、证明题：

1.证明级数∑_{n=1}^∞\frac{n!}{n^n}收敛。

2.设y_1(x)和y_2(x)是二阶齐次线性微分方程y+p(x)y+q(x)y=0的两个线性无关的解，证明W(y_1,y_2)(x)=y_1(x)y_2(x)-y_1(x)y_2(x)满足一阶线性微分方程xW(x)+(p(x)-p(x))xW(x)+q(x)x^2=0。

试卷答案

一、选择题：

1.C

2.A

3.C

4.A

5.A

6.B

二、填空题：

1.2

2.x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...

3.y=e^x(C+x)

4.y=Ax^2+Bx+C(A,B,C为待定常数)

5.y=C_1x+C_2x^2

三、计算题：

1.解析思路：利用比值判别法。计算\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n