对于一道三棱锥外接球问题的思考及推广.docVIP

对于一道三棱锥外接球问题的思考及推广

摘要：纵观近几年高考新课标全国卷的试题，不难发现对于球的考查相比于独立命题的各省市而言，明显要多，而关于几何体的外接球问题不时出现，与此同时，各省市的高考模拟试题中关于几何体的外接球问题，尤其是三棱锥的外接球问题出现的比较频繁.笔者通过搜集大量的相关试题，并仔细思考，探究其命题及解法的一般规律，此类问题一般是提供球的内接三棱锥的一些相关数据，然后要求球的表面积或者体积.实际上是要求外接球的半径.笔者通过构造三类模型，将三棱锥外接球问题进行分类并给出相应结题思路及方法，此方法具有普适性，下面呈文，供读者参考.

关键字：三棱锥外接球立体几何转化划归思想

引例:三棱柱中，平面，，，，其外接球的体积为（）

思考：对于此类三棱锥外接球问题的处理，通常是将其补形成为一个长方体，然后寻找长方体的外接球。

模型构建：

推广1:如图，多面体，两两垂直，，，，则经过的外接球的表面积是（）

思考1：与引例一样，将三棱锥放置入某一长方体，此类题型可以进一步抽离条件，形成墙角模型,从而转化为长方体的外接球问题.

模型构建：

推广2：在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积是（）

思考2：将推广1进一步抽离条件，形成特殊形态的三棱锥，此时三棱锥具有特殊形态特征即对边相等，同样适用放置某个长方体。

模型构建：

推广3：三棱锥中，，，平面，，则该三棱锥的外接球表面积为（）

思考3：将例题中的条件进一步发散，此时不能补全成一长方体，但是，和长方体类似，可以放置在某个圆柱体中，从而寻找圆柱的外接球.此类题型需要应用正弦定理求底面圆直径.

模型构建：

结论1：此类外接球问题可简称为“柱-球”模型，可通过将三棱锥放置在某个直棱柱内，然后将该直棱柱放置在对应圆柱内，从而转化为圆柱的外接球问题。此类题型通常在题中会给出关键特征，侧棱垂直于底面或者是对边相等。

推广4：在中，，，，为外一点，满足，则三棱锥的外接球的半径为（）

思考4：此时三棱锥不能放置在某个圆柱内，观察其结构特征，发现其特殊性：侧棱相等，以顶点及底面三角形外心连线为轴，进行旋转，思考是否可放入圆锥。

模型构建：

结论2：此类外接球问题可简称为“锥-球”模型，对于此类三棱锥外接球问题，课通过将三棱锥放置在某个圆锥内，从而转化为圆锥的外接球问题。此类问题通常会在题中给出关键特征，侧棱相等或者是顶点的投影在底面的中心。

推广5：在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（）

思考5：将三棱锥的顶点移动，形成一般形态的三棱锥，此时三棱锥既不能补成直棱柱，也不能形成圆锥，考虑到任意三角形必有外接圆，任意三棱锥必有外接球，以其中三点构成三角形，以该三角形外心为垂足，做垂直于该平面的垂线，以该垂线为旋转轴旋转，可形成一圆台。

模型构建：

结论3：此类外接球问题可简称为“台-球”模型，对于此类三棱锥外接球问题，可通过将三棱锥放置在某个圆台内，从而转化为圆台的外接球问题.当上述两种模型不能适用时，可以考虑此类模型，此类模型解题的关键在于寻找圆台的上下半径和高。此类问题通常会在题中给出关键特征，两组对边相等并且一组对边不相等。

思考总结

立体几何问题主要考查学生的空间想象能力，是高中数学的一个重点与难点，而关于球的问题又是立体几何内容中不易掌握和运用的知识点.一方面球与其他几何体的组合问题，学生在画图这一环节就存在相当的难度，单纯画球是相对简单的，但是在球的里面或外部画其他的几何体，是比较困难的，很难很好的展现外接或者内切的特征，一下子就提高了解决此类问题的门槛，使学生望而却步.另一方面，有些问题如果没有转化好，也会大大提高运算量与运算难度，同样解决不了问题.

说到底，就是要运用好高中数学四大思想之一：转化与化归思想.空间问题的一般思路都是转化为平面问题，包括高考中常考的空间中的角和距离，因为平面问题是学生相对熟悉的，这一点需不失时机的持续的向学生渗透.也要充分利用诸如正方体、长方体、正四面体等一些简单模型，一旦转化到这些模型，就会因为熟悉而不由自主的产生共鸣，问题的解决就变得简单多了.同时，也要着力培养学生的探究与创新能力，《普通高中数学课程标准（实验）》与《普通高等学校招生全国统一考试大纲》均明确提出培养与发展创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考，探索与研究，提出解决问题的思路，创造性的解决问题.关于三棱锥的外接球的问题的解法，学生高中三年断断续续也做了不少此类的题目，日常教学中，要适时的引导学生去探究与创新，探究后形成的结论，对于学生掌握知识与提高解题能力相当有用，因为最终的结论由学生自己得到，这样既能让学生印象深刻，又培养了良好的探究习惯与探究能力，大大提高学生思维的敏捷性与深刻