上海市格致中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷（含解析）.docxVIP

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上海市格致中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．若，则的值为.

2．=（用分数指数幂表示）

3．函数的图象恒过定点.

4．是的条件.（从“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分又非必要”中选择一项填入）

5．当时，的最小值为．

6．不等式的解集为.

7．设正实数满足，则．

8．若实数，满足，，则.

9．若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为.

10．若关于x的方程有实根，则实数a的取值范围为．

11．某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r（），劳累程度T（），劳动动机b（）相关，并建立了数学模型，已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：

①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；

②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；

③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强；

④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱．

其中所有正确结论的序号是．

12．若关于的不等式共有2025个整数解，则实数的取值范围为.

二、单选题

13．下列不等式成立的为（????）

A．若，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，则

14．在同一坐标系内，函数和的图象可能是（???）

A． B．

C． D．

15．设有限集所含元素的个数用表示，并规定，已知集合满足，，若，，则满足条件的所有不同集合的个数为（???）

A．6 B．10 C．16 D．64

16．设，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

三、解答题

17．已知幂函数经过点.

(1)求此幂函数的表达式和定义域；

(2)已知点，点在此幂函数的图象上，且满足，求实数的取值范围.

18．已知集合或，.

(1)求；

(2)若，当时，求实数的取值范围；

(3)若，当时，求实数的取值范围.

19．（1）已知正实数，满足，若恒成立，求的取值范围；

（2）在“均值不等式”习题课中，老师展示了对于两道题目的解法的“典型错误”：

①题目：已知正实数，满足，求的最小值.

甲的解法：由，得，则，所以的最小值为8.

②题目：已知正实数，满足，求的最大值.

乙的解法：由，当且仅当时取等号，此时，

则，所以的最大值为.

请你指出甲乙两人在使用均值不等式时的错误之处，并给出正确解法.

20．阅读：高中数学必修第一册29页——《韦达定理的证明》.

韦达定理??若一元二次方程的两个根为、.则，.

证明??因为一元二次方程的两个根为、，所以二次三项式可以因式分解为.由于，从而等式恒成立.由例5知，该等式两边的对应项系数应相等.因此，.深刻阅读，类比思考，仔细计算，完成以下问题：

(1)写出一个满足三个根分别为1，2，3的一元三次方程______；（整理成的形式）

(2)“若一元三次方程的三个实根为，，”，则______，______，______；

(3)已知长方体体积为1，长宽高之和为，表面积为，求实数的取值范围.（需要用到的公式提示：

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《上海市格致中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷》参考答案

题号

13

14

15

16

答案

D

C

B

A

1．

【分析】通过分情况讨论集合中元素与的相等关系，结合集合元素的互异性求解的值.

【详解】因为，所以分两种情况讨论：

若，解得，此时集合为，不满足元素的互异性，舍去.

若，解得，此时集合为，满足元素的互异性，符合条件.

故答案为：

2．.

【分析】根据根式和分数指数幂的关系相互转化规则化简即可得出答案.

【详解】

故答案为：.

3．

【分析】令的指数为，求出的值，再代入原函数解析式，可得出定点坐标.

【详解】对于函数，令可得，此时，

故函数的图象恒过定点.

故答案为：.

4．必要非充分

【分析】通过分析两个条件之间的推出关系，判断充分必要条件.

【详解】若，则一定有，故“”能推出“”；

若，当时，不满足，故“”不能推出