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2004年imo试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.设a,b,c是正实数,且a+b+c=1,则下列表达式中最大的是（）

A.a2+b2+c2B.a+b+cC.a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2D.a3+b3+c3

【答案】C

【解析】由于a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2=(a+b)(b+c)(c+a)/4，根据均值不等式，该表达式大于等于abc，而abc≤(a+b+c)3/27=1/27，因此C最大。

2.函数f(x)=x3-3x在区间[-2,2]上的最大值是（）

A.2B.0C.-2D.3

【答案】A

【解析】f(x)=3x2-3，令f(x)=0得x=±1，f(-2)=-2，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=2，故最大值为2。

3.若复数z满足|z|=1，则z3+z的最小值是（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】A

【解析】设z=cosθ+isinθ，则z3+z=cos3θ+isin3θ+cosθ+isinθ=2cos2θ(cosθ+isinθ)，最小值为-2。

4.抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,2)，且顶点在直线y=x上，则a的值是（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】D

【解析】顶点坐标为(-b/2a,c-b2/4a)，代入y=x得-b/2a=c-b2/4a，又(1,2)在抛物线上得a+b+c=2，联立解得a=-2。

5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c，若a2+b2=2c2，则sinA+sinB-sinC的值是（）

A.0B.1C.√2D.2

【答案】A

【解析】由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC=2c2-2abcosC，得abcosC=c2/2，又由正弦定理sinAsinB=sin2C，故sinA+sinB-sinC=sinA+sinB-sinAsinB/sinC=sinC(1+sinB-sinA/sinC)=sinC(1+cosC)=0。

6.设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3=6，S_6=21，则a_9的值是（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】C

【解析】S_3=3a_1+3d=6，S_6=6a_1+15d=21，解得a_1=1，d=1，故a_9=a_1+8d=9。

7.在直角坐标系中，曲线x2/a2+y2/b2=1与直线y=mx相交于P、Q两点，若PQ的长度为2a，则m的值是（）

A.±1B.±√2C.±√3D.±√5

【答案】B

【解析】将y=mx代入椭圆方程得(x2+a2m2x2)/(a2+b2m2)=1，整理得(a2-b2m2)x2-a2b2m2=0，由弦长公式|PQ|=2a√(1+m2/(a2/b2-a2/m2))=2a，解得m=±√2。

8.函数f(x)=log?(x2-2x+3)在区间[1,3]上的最小值是（）

A.0B.1C.-1D.2

【答案】B

【解析】x2-2x+3=(x-1)2+2在[1,3]上单调递增，最小值为2，故f(x)的最小值为log?2=1。

9.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面，PA=AD，则二面角A-PC-D的余弦值是（）

A.1/2B.√2/2C.√3/2D.1

【答案】A

【解析】取PC中点O，连AO、DO，由PA=AD知AO⊥PC，DO⊥PC，故∠AOD为二面角的平面角，在正方形ABCD中AO=AD/√2，OD=AD/√2，故cos∠AOD=AO/AD=1/2。

10.已知函数f(x)在x=0处取得极值，且f(x)=3x2-6x+k，则k的值是（）

A.-3B.0C.3D.6

【答案】C

【解析】f(0)=k=0，又f(x)=3(x-2)x，令f(x)=0得x=0或2，f(0)取得极值，故k=3。

二、多选题（每题4分，共20分）

1.设z为复数，以下命题中正确的有（）

A.若|z|=1，则z3+z=0B.若z2是实数，则z是实数C.若z的实部为0，则z是纯虚数D.若z的模为0，则z=0

E.若z的共轭复数等于自身，则z是实数

【答案】D、E

【解析】A不正确，如z=1/2+√3/2i；B不正确，如z=√2/2+i；C不正确，如z=0；D正确，|z|=0?z=0；E正确，z=α+βi，则z?=α-βi，若z?=z?β=0，z为实数。

2.设函数f(x)在区间I上单调递增，以下命题中正确的有（）

A.若x?x?，则f(x?)≤f(x?)B.若f(x?)=f(x?)，则x?=x?C.若f(x?)≥f(x?)，则x?x?D.若x?x?，则f(x?)f(x?)E.若f(x?)≠f(x?)，则x?≠x?

【答案】A、B、E

【解析】单调递增的定义是x?x??f(x?)≤f(x?)，故A正确；由严格单调递增可得B正确；由不等式关系可得C错误；D与定