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平行线常见模型专题练习

在初中几何的知识体系中，平行线无疑是一块基石，它串联起了角的关系、图形的变换与证明的逻辑。而在与平行线相关的题目中，一些经典的“模型”如同反复出现的老朋友，掌握它们的“脾气禀性”——即图形特征、基本结论及推导过程，能让我们在解题时如虎添翼，迅速抓住关键，化繁为简。本文将带你系统梳理这些常见模型，并通过针对性练习，帮助你真正做到融会贯通，灵活运用。

一、“三线八角”——万变不离其宗的基础

在深入复杂模型之前，我们必须先回顾“三线八角”这一最基础的图形。两条平行线被第三条直线所截，产生了同位角、内错角与同旁内角。正是这些角之间的相等或互补关系，构成了所有平行线模型的推理基础。同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，这三大核心结论是我们后续所有模型结论推导的“武器库”。

二、平行线中的“拐角”模型探秘

当截线不再是一条直线，而是出现“拐弯”时，就形成了我们常说的“拐角模型”。这些模型是考试中的常客，也是学生理解的难点。

（一）“铅笔”模型（“猪蹄”模型/“U”型模型）

模型特征：两条平行线被一条折线所截，折线在平行线之间形成一个类似“铅笔头”或“猪蹄”的封闭图形，即拐角在两平行线内部，且开口朝向截线的同一侧。

基本结论：拐角处的那个角等于与它不相邻的两个同侧角之和。

即：若AB∥CD，折线为EFG（E在AB上，G在CD上，F为拐点），且∠EFG为开口向右侧的拐角，则∠EFG=∠BEF+∠FGD。

结论推导：

过拐点F作AB的平行线FH（H在F的左侧）。

因为AB∥CD，FH∥AB，所以FH∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。

所以∠BEF=∠EFH（两直线平行，内错角相等）。

∠FGD=∠HFG（两直线平行，内错角相等）。

因此，∠EFG=∠EFH+∠HFG=∠BEF+∠FGD。得证。

（二）“锯齿”模型（“M”型模型/多折点模型）

模型特征：两条平行线被一条具有多个连续同向拐点的折线所截，形成类似“锯齿”或“M”、“W”的形状。这里我们先讨论最基本的单拐点“M”型和双拐点“W”型。

1.单拐点“M”型：

两条平行线被一条折线所截，折线在平行线之间形成一个向上凸起的“M”型单拐点。

基本结论：此时，拐点处的外角等于与它不相邻的两个内角之和。或者表述为：凹进去的角等于与它相对的两个凸角之和。具体来说，若AB∥CD，折线为EFG（E在AB上，G在CD上，F为拐点且在AB、CD下方），则∠EFG=∠BEF+∠DGF。（这个结论的推导与“铅笔模型”类似，过F点作AB的平行线即可得证，此处略）

2.双拐点“W”型：

两条平行线被一条折线所截，折线在平行线之间形成两个连续向下的拐点，构成“W”型。

基本结论：此时，三个拐角处的角之和等于360度。即：∠B+∠E+∠D=360°。

结论推导：

过第一个拐点E作EM∥AB，过第二个拐点F作FN∥CD。

因为AB∥CD，所以AB∥EM∥FN∥CD。

所以∠B+∠BEM=180°（两直线平行，同旁内角互补）。

∠MEF+∠EFN=180°（两直线平行，同旁内角互补）。

∠NFD+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）。

将以上三式相加：∠B+∠BEM+∠MEF+∠EFN+∠NFD+∠D=180°×3=540°。

但∠BEM+∠MEF=∠BEF，∠EFN+∠NFD=∠EFD。

所以∠B+∠BEF+∠EFD+∠D=540°。

等等，这似乎与我们要的结论不符。看来我这个“W”型的描述和结论需要更精确。或许更简单的双拐点模型是：AB∥CD，折线为EFGH（E在AB，H在CD，F、G为拐点，且FG在AB、CD之间），若两个拐点方向一致，则∠BEF+∠FGH+∠GHD=360°。或者，如果是两个相反方向的拐点，结论又会不同。看来“锯齿模型”的关键在于拐点的方向和数量。最核心的处理方法依旧是“过每个拐点作平行线”，然后利用平行线的性质进行角的转化与求和。

（三）“拐角”在外侧模型（“外凸”或“外凹”模型）

除了拐点在两条平行线之间的“内拐角”，还有拐点在平行线外侧的情况。

模型特征：两条平行线被一条折线所截，折线的拐点位于两条平行线的外侧，形成向外凸起或凹陷的角。

基本结论：这类模型的结论通常涉及到角的差。例如，若AB∥CD，点E在AB、CD的上方（外侧），折线为AEB（A在AB，B在CD，E为拐点），且AE、BE分别与AB、CD相交，则可能有∠E=∠B-∠A或∠E=∠A-∠B，具体取决于角的开口方向和位置。

结论推导：同样是过拐点E作AB的平行线EF。利用平行线的性质，将∠A和∠B转化为与∠E相关的