2026高一数学同步5.3 第1课时 诱导公式二、三、四（导学案）（解析版）数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

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好好学习

5.3诱导公式（第1课时）诱导公式二、三、四

导学案

1.借助单位圆，推导出正弦、余弦第二、三、四、五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题

2.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。

教学重点：借助单位圆，推导出正弦、余弦第二、三、四、五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数；

教学难点：解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题．

温故知新

知识点一角的对称

(1)角π＋α的终边与角α的终边关于eq\x(\s\up1(01))原点对称，如图(a)；

(2)角－α的终边与角α的终边关于eq\x(\s\up1(02))x轴对称，如图(b)；

(3)角π－α的终边与角α的终边关于eq\x(\s\up1(03))y轴对称，如图(c)．

知识点二诱导公式

公式二

sin(π＋α)＝

eq\x(\s\up1(01))－sinα

cos(π＋α)＝

eq\x(\s\up1(02))－cosα

tan(π＋α)＝

eq\x(\s\up1(03))tanα

公式三

sin(－α)＝

eq\x(\s\up1(04))－sinα

cos(－α)＝

eq\x(\s\up1(05))cosα

tan(－α)＝

eq\x(\s\up1(06))－tanα

公式四

sin(π－α)＝

eq\x(\s\up1(07))sinα

cos(π－α)＝

eq\x(\s\up1(08))－cosα

tan(π－α)＝

eq\x(\s\up1(09))－tanα

[点拨](1)公式一、二、三、四都叫做诱导公式，它们可概括如下：

①记忆方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．

②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sinα.

(2)利用诱导公式一和三，还可以得到如下公式：

sin(2π－α)＝－sinα，cos(2π－α)＝cosα，tan(2π－α)＝－tanα.

导入1：旋转的风车叶片

【情景描述】教师展示风车旋转视频，提问：

“若叶片初始位置与x轴夹角为30°，逆时针旋转180°后，新位置的‘高度’（正弦值）与原位置有何关系？”

【设计意图】用“高度相反”直观引出sin(π+30°)=–sin30°，自然关联公式二。

【教学建议】让学生用手臂模拟旋转，感受“终边对称”与“函数值符号”的联系。

导入2：镜子里的时钟

【情景描述】提问：

“镜子里3:00的时钟显示为9:00，此时时针与12点的夹角（设为α）与镜中像的夹角（–α）的余弦值有何关系？”

【设计意图】引出cos(–α)=cosα（公式三），强调“x坐标对称不变”。

【教学建议】用镜子和纸板时钟实物演示，让学生测量并验证猜想。

【教学建议】教师可以通过提问和讨论的方式，引导学生思考引例中的问题，鼓励学生发表自己的见解。

在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同一三角函数值相等，即公式一，并且利用公式一可以把求绝对值较大的三角函数值转化为求0°～360°角的三角函数值，对于90°～360°角的三角函数值，我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解，这是我们今天要学习的内容．

前面利用圆的几何性质，得到了同角三角函数之间的基本关系．我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质．由此想到，可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性．

探究点1：中心对称与公式二（π+α）

如图5.3-1，在直角坐标系内，设任意角的终边与单位圆交于点．

（1）作关于原点的对称点，以为

终边的角与角有什么关系？角，的

三角函数值之间有什么关系？

（2）如果作关于轴（或轴）的对称点

（或），那么又可以得到什么结论？

下面，借助单位圆的对称性进行探究

如图5.3-2以为终边的角都是与角

终边相同的角，即．因此，

只要探究与的三角函数值之间的关系即可

设，．因为是点关于原点的对称点，

所以，

角还可以看作是角

角还可以看作是角得终边按逆时针方向旋转角得到的.

；

．

从而得

公式二

探究点2：x轴对称与公式三（–α）

如图5.3-3，作关于轴的对称点，则以为终边的