【课件】角的平分线++课件++2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册.pptxVIP

第十四章全等三角形

14.3角的平分线

第1课时角的平分线的性质

学习目标

1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.(难点)

2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.(重点)

新课导入

问题1:

不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等

的角.你有什么办法?

对折

再打开纸片，看看折痕与这

个角有何关系?

问题2:如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对

折的方法得到木板、钢板的角平分线吗?

问题3:如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将

点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条

射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?

其依据是SSS,两全等三角形的

对应角相等.

讲授新课

1尺规作角平分线

问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该

仪器的功能吗?

做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明

作图方法与仪器的关系.

提示：

(1)已知什么?求作什么?

(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?

(3)在平分角的仪器中，BC=DC,怎样在作图中体现这个过程呢?

(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗?

0

作法：

(1)以点0为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M,交OB于点N.

(2)分别以点MN为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.

(3)画射线OC.射线OC即为所求.

已知：∠AOB.

求作：∠AOB的平分线.

仔细观察步骤

0

结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直

线的垂线的方法.

已知：平角∠AOB.

求作：平角∠AOB的角平分线.

导引：要作射线OM,使

其实质是作∠AOB的平分线.

如图所示，已知∠AOB,求作：

(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点E,

交OB于点F;

(2)分别以点E,F为圆心，大于EF的长为半径画

2

弧，两弧在∠AOB的内部交于点C;

(3)画射线OC;

(4)同理，作∠AOC的平分线OM.∠AOM即为所求(如上图所示).

作法：

工

实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的

任意一点

1.操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA,PE⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下

PD

PE

第一次

第二次

第三次

2.观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结果：

2角平分线的性质

EB

PD=PE

表：

PE⊥OB,垂足分别为D,E.

求证：PD=PE.

证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB,

∴∠PDO=∠PEO=90°.

在△PDO和△PEO中，

验证猜想角的平分线上的点到角的两边的距离相等

已知：如图，∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,

∴△PDO≌△PEO(AAS).

∴PD=PE.

应用所具备的条件：

(1)角的平分线；

(2)点在该平分线上；

(3)垂直距离.

定理的作用：证明线段相等.

B

应用格式：

∵OP是∠AOB的平分线，

PD⊥OA,PE⊥OB,

∴PD=PE

性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

推理的理由有三个，

必须写完全，不能少了任何一个.

导引：要证BD=DF,可考虑证两线段所在的

△BDE和△FDC全等，两个三角形中已有一角和一边相等，只要再证DE=CD即可，这可由AD平分∠CAB及垂直条件证得.

例1如图，在△ABC中，∠C=90°,AD平分∠CAB,

DE⊥AB于E,F在AC上，BE=FC,求证：BD=DF.

ZC=90°,

∴DE=DC.

在△BDE和△FDC中，

DE=CD,

∠DEB=ZC,

BE=FC,

∴△BDE≌△FDC,

BD=DF.

证明：∵AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,

例2如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB

,PE⊥AC,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=4cm.

温馨提示：存在两条垂线段——直接应用

A

变式：如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C=90°,AP平分

∠BAC交BC于点P,若PC=4,AB=14.

(1)则点P到AB的距离为4

温馨提示：存在一条垂线段构造应用

变式：如图