上海市顾村中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题（含解析）.docxVIP

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上海市顾村中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．若集合，，则．

2．不等式的解集为．

3．椭圆的焦距是.

4．若圆柱的底面半径与高均为1，则其侧面积为．

5．在的二项展开式中，常数项为.

6．某景点对30天内每天的游客人数（单位：万人）进行统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的第75百分位数是.

7．若正数x、y满足，则的最大值为．

8．从A校高一年级学生中抽取66名学生测量他们的身高，其中最大值为184cm，最小值152cm，绘制身高频率分布直方图，若组距为3，且第一组下限为151.5，则组数为．

9．若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则的取值范围是.

10．若，则不等式的解集为．

11．某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为.

12．已知数列是给定的等差数列，其前项和为，若，且当与时，取得最大值，则的值为.

二、单选题

13．设,则“”是“”的（????）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件

14．掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是3的倍数，事件：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（????）

A．与 B．与 C．与 D．与

15．函数，则下列命题正确的是（???）

A．函数是偶函数 B．函数定义域是

C．函数最大值 D．函数的最小正周期为

16．设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

三、解答题

17．如图，在正方体中，E是的中点．

(1)求证：平面；

(2)求直线DE与平面ABCD所成角的大小．

18．设，函数.

(1)求的值，使得为奇函数；

(2)若，求满足的实数的取值范围.

19．如图所示，是一块边长为米的正方形地皮，其中是一半径为米的扇形草地，是弧上一点，其余部分都是空地，现开发商想在空地上建造一个有两边分别落在和上的长方形停车场．

(1)设，长方形的面积为S，试建立S关于的函数关系式；

(2)当为多少时，S最大，并求最大值．

20．如图，已知是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，是以的焦点为顶点的等轴双曲线，点是与的一个交点，动点在的右支上且异于顶点.

(1)求与的方程；

(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求点的坐标；

(3)设直线的斜率分别为，直线与相交于点，直线与相交于点，，，求证：且存在常数使得.

21．若函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”.

(1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；

(2)若，求证：函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；

(3)设，的零点为，，求证：“存在，使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”.

《上海市顾村中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题》参考答案

题号

13

14

15

16

答案

C

B

C

D

1．

【分析】根据并集的定义运算即可.

【详解】因为，，所以，

故答案为:.

2．

【分析】根据二次不等式的解法直接求解即可.

【详解】由，即，解得，

所以不等式的解集为.

故答案为：.

3．2

【详解】分析：由椭圆方程可求，然后由可求，进而可求焦距

详解：∵椭圆

∴.

即答案为2．

点睛：本题主要考查了椭圆的性质的简单应用，属基础题

4．

【分析】根据圆柱的侧面积公式直接计算可得.

【详解】由题意，圆柱的侧面积为：.

故答案为：

5．20

【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解.

【详解】的二项展开式中，常数项为，

故答案为：

6．51

【分析】根据百分位数的定义求解即可.

【详解】因为，

所以该样本的第75百分位数是按照从小到大的顺序排列的第23个数，即为51.

故答案为：51.

7．

【分析】令，再结合二次函数的性质求解即可；

【详解】因为正数x、y满足，所以，

所以，

所以当时，最大值为，

故答案为：.

8．