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中学七年级数学几何证明习题

几何证明是初中数学学习中的一座重要桥梁，它不仅考察同学们对几何概念、性质和定理的掌握程度，更锤炼大家的逻辑推理能力和空间想象能力。七年级是系统学习几何证明的开端，打好坚实的基础，养成良好的思维习惯，对后续学习至关重要。本文将结合七年级几何的核心知识点，通过典型例题的剖析，引导同学们掌握几何证明的基本思路与方法。

一、几何证明的基石：公理、定理与定义

在踏入几何证明的世界之前，我们必须熟练掌握并深刻理解作为推理依据的“武器库”：

1.定义（Definition）：对于一个几何概念的精确描述。例如，“线段中点”的定义是“将一条线段分成两条相等线段的点”，这意味着如果点M是线段AB的中点，那么AM=MB；反之，如果AM=MB，那么点M是线段AB的中点。定义既是判定也是性质。

2.公理（Axiom）：经过人类长期反复实践的检验，被公认为不需要再加证明的真理。例如，“两点确定一条直线”，“两点之间，线段最短”，以及“等量代换”等，都是我们进行推理的原始依据。

3.定理（Theorem）：经过推理证明为正确的命题。七年级阶段我们会学习到“对顶角相等”，“同角（或等角）的补角相等”，“同角（或等角）的余角相等”，“平行线的判定定理与性质定理”（若涉及）等。定理是几何证明中最常用的依据。

同学们务必将这些基础知识烂熟于心，不仅要记住文字表述，更要理解其几何意义，并能准确地运用到图形中。

二、几何证明的一般步骤与思考策略

面对一道几何证明题，通常的思考路径和书写步骤如下：

1.审题与识图：仔细阅读题目，明确已知条件是什么，需要求证的结论是什么。然后，根据题意准确画出图形（如果题目没有给出的话），并在图形上标注出已知条件和需要求证的量（可以用不同颜色的笔或符号区分，如已知线段用单箭头，求证线段用双箭头等）。

2.分析思路：这是证明的核心环节。

*“由因导果”（综合法）：从已知条件出发，思考根据这些条件（结合定义、公理、定理）能够直接推出什么结论。再把推出的结论作为新的已知条件，继续往下推，直至接近或达到要证明的结论。

*“执果索因”（分析法）：从要证明的结论入手，思考要得到这个结论，需要具备什么条件。如果这个条件暂时不直接具备，那么再思考要得到这个“所需条件”，又需要什么新的条件，如此逐步倒推，直至所需条件能由已知条件推出。

*在实际思考中，往往是“综合法”与“分析法”交替使用，即“两头凑”，从已知看可知，从未知看需知，当两者相遇时，证明的思路就畅通了。

3.规范书写：将思考成熟的推理过程，用规范的几何语言（文字语言、符号语言、图形语言相结合）清晰、条理地书写出来。书写时要注意：

*每一步推理都要有依据，通常将依据写在该步后面的括号内。

*推理过程要步步有据，逻辑严谨，不能跳跃。

*注意使用“∵”（因为）、“∴”（所以）等符号。

三、典型例题精析

例题1：入门级（线段相等的证明）

已知：如图，点C是线段AB的中点，点D是线段AC的中点。

求证：AD=CB/2。

分析：

首先，我们要明确已知条件：C是AB中点，D是AC中点。要证明的结论是AD等于CB的一半。

从已知出发（综合法）：

因为C是AB中点，根据“线段中点定义”，所以AC=CB=AB/2。

因为D是AC中点，同样根据“线段中点定义”，所以AD=DC=AC/2。

现在，我们有了AD=AC/2，而AC又等于CB，那么AD就等于CB/2。这正是我们要证明的结论。思路清晰了。

证明：

∵点C是线段AB的中点（已知），

∴AC=CB（线段中点的定义）。

∵点D是线段AC的中点（已知），

∴AD=DC=1/2AC（线段中点的定义）。

∵AC=CB（已证），

∴AD=1/2CB（等量代换）。

即AD=CB/2。

点评：本题非常基础，主要考察对“线段中点定义”的理解和应用，以及简单的等量代换思想。同学们在初学阶段，要特别注意书写的规范性和依据的准确性。

例题2：基础级（角相等的证明）

已知：如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠AOD的平分线，∠AOC=50°。

求：∠DOE的度数，并证明你的结论。（本题虽为计算题，但求解过程本身就是证明过程）

分析：

已知条件：AB、CD相交于O，OE平分∠AOD，∠AOC=50°。要求∠DOE的度数。

首先，AB与CD相交于O，那么∠AOC与∠AOD是什么关系？它们是邻补角，即∠AOC+∠AOD=180°（平角的定义）。已知∠AOC=50°，那么∠AOD=180°-50°=130°。

OE是∠AOD的平分线，根据“角平分线定义”，∠AOE=∠DOE=∠AOD/2。