高考数学考点题型归纳与方法总结(新高考)素养拓展13三角形中的“四心”问题(学案+练习)（2024年）.pdfVIP

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展13三角形中的“四心”问题精（讲+精练）

一、知识点梳理

一、三角形的四心定义

外心：三角形三边的垂直平线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；

内心：三角形三个角的角平线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等；

重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等点；

垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；

二、三角形的重心

（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点.

2（）重心的性质：

①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1

②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.

重要结论：（1）设点6是仆ABC所在平面内的一点，则当点6是仆ABC的重心时，有GA+GB+GC=0

或（其中P为平面内任意一点）；

2（）在向量的坐标表示中，若G、A、B、C别是三角形的重心和三个顶点，且别为Gx（,y）、

!

AX（1,y|）、Bx（,y）,Cx（,y）,则有G（i+；+十一）

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三、三角形的外接圆与外心

(1)外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.

(2)外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平线的交点，叫做三角形的外心.

注：①接’是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点.

②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在

三角形的外部.

③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平线的交点，三角形的外接圆只有一个，而

一个圆的内接三角形却有无数个.

重要结论：若点0是ABC的外心，则|OA|=|OBROC|或

(OA+OB)BA=(OB+OC)CB=(OC+OA)AC=0；反之，若|OA|=|OB|=|0C|或

(OA+OB)BA=(OB+OC)CB=(OC+OA)AC=0,则点0是^ABC的外心。

四、三角形的内切圆与内心

(I)内切圆的有关概念：

与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这人三角形叫做

圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平线的交点.

(2)三角形内心的性质：

三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平这个内角.

百要结论：若点1是^ABC的内心，则有；反之，若，则点1是^ABC的

内心.

五、垂心

三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心.

重要结论：若H是△ABC的垂心，则HAHB=HBHC=HCHA或

,反之，若示而=而说=正向或

,则H是△ABC的垂心.

二、题型精讲精练

【典例1］若0为/8C的重心（重心为三条中线交点），且04+04+40。=。，则4=—.

【答案】1

【解析】在48c中，取BC中点力，连接AO,由重心的性质可得。为A。的三等点，且。4=-2”,

又。为8c的中点，所以O8+OC=2O。，所以OA+O8+Od=—200+00=0,所以人=1.故答案为：I

【典例2】已知点P是./WC的内心、外心、重心、垂心之一，且满足24