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代数竞赛试题及答案高中

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若复数z满足|z-2|+|z+2|=6，则z在复平面上对应点的轨迹是（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【答案】B

【解析】根据复数模的几何意义，|z-2|+|z+2|=6表示到点（2，0）和点（-2，0）距离之和为6的点的轨迹，符合椭圆定义。

2.函数f(x)=x3-3x+1的极值点个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】f(x)=3x2-3，令f(x)=0得x=±1，f(1)=-60，f(-1)=60，故x=1为极大值点，x=-1为极小值点。

3.已知等差数列{a?}中，a?+a?+a?=39，则S??等于（）

A.78B.117C.156D.195

【答案】C

【解析】由等差数列性质a?+a?=2a?，得3a?=39，a?=13，S??=13×13=156。

4.不等式|2x-1|3的解集为（）

A.(-1,2)B.(-2,1)C.(-2,4)D.(-1,4)

【答案】D

【解析】由-32x-13得-22x4，即-1x2，解集为(-1,2)。

5.若函数g(x)=log?|x|在x0时单调递减，则a的取值范围是（）

A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,1)∪(1,+∞)D.(-∞,0)∪(0,1)

【答案】C

【解析】log?|x|单调性与a的取值有关，当0a1或a1时函数在x0时单调递减。

6.设集合A={x|x2-5x+6=0}，B={x|x2-mx+1=0}，若B?A，则实数m的取值集合为（）

A.{2,3}B.{2,3,-3}C.{3}D.{2}

【答案】A

【解析】A={2,3}，若B?A，则方程x2-mx+1=0的根只能为2或3，解得m=2或3。

7.已知向量a=(1,k)，b=(3,-2)，若a∥b，则k的值为（）

A.-3/2B.3/2C.-2D.2

【答案】A

【解析】a∥b?1×(-2)-k×3=0?k=-3/2。

8.执行以下程序段后，变量s的值为（）

i=1;s=0;

whilei=5do

s=s+i;

i=i+2;

endwhile

A.15B.8C.10D.6

【答案】B

【解析】i=1,3,5时各执行一次循环，s=1+3+5=9。

9.若x+y=5，xy=3，则x2+y2的值为（）

A.10B.13C.16D.17

【答案】B

【解析】x2+y2=(x+y)2-2xy=25-6=19。

10.从5名男生和4名女生中选出3人参加比赛，至少有一名女生的选法有（）种

A.20B.30C.40D.50

【答案】C

【解析】至少一名女生=总选法-全男生，即C(9,3)-C(5,3)=84-10=74。

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中为真命题的是（）

A.若x2=y2，则x=yB.若x3=y3，则x=y

C.若x20，则x0D.若x?=y?，则x=y

【答案】B、D

【解析】A中x=-y也成立；C中x可取负数；B、D中开偶次方需考虑正负号。

2.函数f(x)=sin(x+π/4)的图像（）

A.关于原点对称B.关于x轴对称

C.周期为2πD.相对于y=x/√2顺时针旋转π/4得到y=sinx

【答案】C、D

【解析】f(x)是正弦函数平移π/4，周期不变，D选项可验证。

3.已知实数x满足x2+4x-5≥0，则|2x-1|+|x+2|的最小值为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B、C

【解析】x=-2或x≥5时取得最小值5；x-2时取得最小值4。

4.在△ABC中，若cosA+cosB=1，则△ABC的形状可能是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.等边三角形

【答案】A、C、D

【解析】cosA+cosB=1?A=B=π/3或A=0,B=π。

5.已知集合A={x|log?(x-1)存在},B={x|√(x+3)存在}，则（）

A.A∩B={x|x1}B.A∪B={x|x-3}

C.A-B={x|1x≤4}D.B-A={x|x4}

【答案】A、B、C

【解析】A={x|x1},B={x|x-3}，A∩B={x|x1}，A∪B={x|x-3}，A-B={x|1x≤4}。

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若复数z=(2+i)/(1-i)，则|z|等于______。

【答案】√5

【解析】|z|=|(2+i)/(1-i)|=|2+i|/|1-i|=√5/√2=√5。

2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在[-3,3]上的最小值是______。

【答案】3

【解析】分段函数在x=-2处取得最小值3。

3.已知等比数列{a?}中，a?=6，a?=162，则公比q等于______。

【答案】3

【解析】a?=a?q3?162=6q3?q=3。

4.不等式组{x|x2-4x+3