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空间向量练习题

空间向量作为解决立体几何问题的有力工具，其运算与应用贯穿于诸多数学与工程领域。掌握空间向量的基本概念、运算规律及其几何意义，不仅能够深化对空间几何关系的理解，更能显著提升解决复杂问题的效率。以下练习题旨在帮助读者巩固空间向量的核心知识，并熟练运用其解决实际问题。请在独立思考后再查阅解答与提示。

练习题

题1

设有向量a=(1,2,-1)和向量b=(2,-1,3)。

(1)计算向量a+2b的坐标表示。

(2)求向量a与向量b的数量积a·b。

(3)若向量c=a-kb与向量b垂直，求实数k的值。

题2

已知空间三点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)。

(1)求向量AB和向量AC的坐标。

(2)求三角形ABC的面积。

(3)求平面ABC的一个法向量。

题3

在空间直角坐标系中，已知点P(1,-2,3)，直线L过点Q(0,1,-1)且方向向量为s=(2,-1,1)。

(1)求点P到直线L的距离。

(2)求过点P且与直线L垂直相交的直线方程（用点向式表示）。

题4

已知平面α的方程为2x-y+3z-6=0，点M(1,1,1)。

(1)求点M到平面α的距离。

(2)求平面α与坐标平面xOy的夹角余弦值。

题5

设向量a、b、c满足|a|=2，|b|=3，|c|=4，且a+b+c=0。求a·b+b·c+c·a的值。

题6

在棱长为a的正方体ABCD-A?B?C?D?中，E、F分别为棱AB、CC?的中点。以D为坐标原点，DA、DC、DD?所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。

(1)写出点E、F的坐标。

(2)求异面直线A?E与D?F所成角的余弦值。

解答与提示

题1解答与提示

(1)a+2b=(1,2,-1)+2*(2,-1,3)=(1+4,2-2,-1+6)=(5,0,5)。

(2)a·b=1*2+2*(-1)+(-1)*3=2-2-3=-3。

(3)因为c与b垂直，故c·b=0。c=(1-2k,2+k,-1-3k)，则c·b=2*(1-2k)+(-1)*(2+k)+3*(-1-3k)=2-4k-2-k-3-9k=(-14k)-3=0，解得k=-3/14。

*提示：本题主要考察向量的线性运算、数量积运算及向量垂直的充要条件。数量积为零是判断向量垂直的核心依据。*

题2解答与提示

(1)AB=B-A=(-1,1,0)，AC=C-A=(-1,0,1)。

(2)三角形ABC的面积为|AB×AC|/2。AB×AC=|i??j??k|

-1??1??0

-1??0??1

=i*(1*1-0*0)-j*(-1*1-0*(-1))+k*(-1*0-1*(-1))=(1,1,1)。其模长为√(1+1+1)=√3。故面积为√3/2。

(3)平面ABC的法向量可取为AB×AC=(1,1,1)（或其非零scalar倍数）。

*提示：向量积的模长等于以这两个向量为邻边的平行四边形的面积，这是求三角形面积的常用方法。平面的法向量可通过平面内两个不共线向量的向量积求得。*

题3解答与提示

(1)向量QP=P-Q=(1,-3,4)。点P到直线L的距离d=|QP×s|/|s|。QP×s=|i??j??k|

1?-3??4|

2?-1??1|

=i*(-3*1-4*(-1))-j*(1*1-4*2)+k*(1*(-1)-(-3)*2)=(1,7,5)。|QP×s|=√(1+49+25)=√75=5√3。|s|=√(4+1+1)=√6。故d=5√3/√6=5√2/2。

(2)设所求直线方向向量为t。因为它与L垂直相交，故t·s=0。又因为两直线相交，可设交点为R=Q+ms=(2m,1-m,-1+m)。向量PR=R-P=(2m-1,4-m,-4+m)与t共线，且PR·s=0（因为PR在过P且垂直于L的平面内）。由