函数极值求解方法与应用.pdfVIP

高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册)第

五章：一元函数的导数及其应用

5.3导数在研究函数中的应用

5.3.2.1函数的极值

【考点梳理】

知识点一函数极值的定义

1.极小值点与极小值

若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左

侧f′(x)0，右侧f′(x)0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

2.极大值点与极大值

若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左

侧f′(x)0，右侧f′(x)0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．

3.极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．

知识点二函数极值的求法与步骤

1.求函数y＝f(x)的极值的方法

解方程f′(x)＝0，当f′(x)＝0时，

0

(1)如果在x附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x)是极大值；

00

(2)如果在x附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x)是极小值．

00

2.求可导函数f(x)的极值的步骤

(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；

(2)求方程f′(x)＝0的根；

(3)列表；

(4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．

【题型归纳】

题型一：求函数的极值

1．（2021··高二练习）求下列函数的极值．

32322

1fxx−3x−9x+53fxx−2lnx

()2fxxx−5()．

（）；（）()()；（）

32

2．（2021·江苏·高二练习）已知函数f(x)＝ax＋bx＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.

（1）求常数a，b，c的值；

（2）判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.

3．（2021··高二专题练习）设函数f(x)x3−6x+5，xR.

(1)求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)若函数yf(x)的图象与函数ya的图象恰有三个不同的交点，求实数a的取值范围．

题型二：由极值求参数

32

4．（2021·江苏·高二练习）已知函数fxx+mx+m+6x+1既存在极大值，又存在极小值，则实数m