2.3.3+点到直线的距离公式课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册.pptxVIP

回顾在初中，“点到直线的距离”定义是什么？定义：直线外一点到直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离.如右图，点P到直线l的距离是垂线段PQ.2.3.3点到直线的距离公式

探究思路一：直接法?

?

直线方程化为y=y1或x=x1的形式，P(x0,y0）到直线y=y1或x=x1的距离d为：Qyoy=y1(x0,y0)xP(x0,y1)Qxyox=x1P(x0,y0)(x1,y0)??

公式思考：上述方法中，我们根据点到直线距离的定义，将点到直线的距离转化为两点之间的距离，思路自然但运算量较大．反思求解过程，你发现引起复杂运算的原因了吗?一是求点Q的坐标复杂，二是代入两点间距离公式造成了运算的复杂.

提示思考：又何简化运算的方法?

解析?

探究我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离?思路二：向量投影法

思考：?

对于直线l:Ax+By+C=0,其方向向量为则与垂直的向量为,

思路三：间接法（等面积）xyOlQPRS思考：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算．除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗?已知P(x0,y0)和l:Ax+By+C=0（设AB≠0）

由等面积法可得A=0或B=0，此公式也成立吗

例1求点P(-1,2)到直线l:3x=2的距离.将直线l的方程可化为一般式：3x-2=0解：Oyxl:3x=2P(-1,2)另解：如图，直线3x=2平行于y轴，P77练习

P8013,14

P10210

【补充练习】求经过点A(-1,2)且与原点距离为的直线l的方程.解：（1）当l斜率不存在时：l⊥x轴，方程为x=-1,到原点距离d=1≠。（2）当l斜率存在时，设l方程为：y-2=k(x+1),即：kx-y+k+2=0,原点到l的距离:∴l的方程为：7x+y+5=0或x+y-1=0

例2已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求?ABC的面积.xyCO-1122331BA解：设AB边上的高为h,则∴AB的方程为化为一般式h就是点C到AB边的距离．点C(-1,0)到直线x+y-4=0的距离为因此P7911