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探究中考数学题中正方形中的十字架模型

在中考数学的几何综合题中，正方形因其完美的对称性和丰富的性质，常常成为命题的热点载体。其中，以正方形为背景的“十字架”模型更是频繁出现，这类问题不仅考查学生对正方形性质的掌握，更考验其几何直观、逻辑推理以及模型构建与应用的能力。本文将深入探究这一模型的构成、核心性质、常见变式及解题策略，旨在为同学们提供一套系统的解题思路。

一、“十字架”模型的定义与基本形态

所谓正方形中的“十字架”模型，并非特指某一种固定的图形，而是泛指在正方形内部或边界上，由两条互相垂直的线段所构成的类似“十字”的几何结构。其核心特征在于“垂直”与“正方形背景”。

最基本且典型的“十字架”模型表现为：在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，点G、H分别在边AD、BC上，且EF⊥GH，垂足为点O（O点可以在正方形内部，也可以在边界上，甚至在顶点处）。此时，线段EF与GH便构成了一个“十字架”。

二、“十字架”模型的核心性质探究

在正方形的背景下，互相垂直的两条线段EF与GH是否存在某种确定的数量关系或位置关系？这是我们探究的重点。

核心性质一：若正方形中两条互相垂直的线段分别平行于正方形的两组对边，则这两条线段长度相等。

这是一种特殊情况，此时EF平行于AD和BC，GH平行于AB和CD，EF与GH的垂足O可以是正方形内任意一点。显然，EF的长度等于正方形的边长，GH的长度也等于正方形的边长，故EF=GH。这种情况较为简单，中考中直接考查的不多，但它是理解更复杂变式的基础。

核心性质二：若正方形中两条互相垂直的线段不平行于边，但分别经过两组对边（或其延长线），则这两条线段的长度相等。

这是“十字架”模型中最具代表性和应用价值的性质。我们通过一个典型图形来证明：

已知：正方形ABCD中，点E在AB边上，点F在CD边上，点G在AD边上，点H在BC边上，且EF⊥GH于点O。

求证：EF=GH。

证明思路：

通常采用构造全等三角形的方法。过点A作AM∥EF交CD于点M，过点B作BN∥GH交AD于点N。

由于EF⊥GH，AM∥EF，BN∥GH，所以AM⊥BN。

在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAN=∠ADM=90°。

因为AM⊥BN，所以∠ABN+∠BAM=90°，又因为∠DAM+∠BAM=90°，所以∠ABN=∠DAM。

因此，△ABN≌△DAM（ASA或AAS）。

所以BN=AM。

又因为AM=EF（四边形AEFM为平行四边形），BN=GH（四边形BGHN为平行四边形），故EF=GH。

这个证明的关键在于通过平移，将原本不相交或位置关系不明显的线段EF和GH，转化为具有明显位置关系和数量关系的线段AM和BN，从而利用正方形的性质构造全等三角形得以证明。

特别地，当两条互相垂直的线段的垂足与正方形的中心重合时，此性质依然成立，且此时两条线段不仅相等，还关于正方形的中心对称。

三、“十字架”模型的常见变式与拓展

中考命题往往不会局限于最基本的模型，而是会进行变式和拓展，以下是几种常见的形式：

1.“十字架”的一臂或两臂端点位于正方形顶点：

例如，一条线段是正方形的对角线，另一条线段过对角线的端点且垂直于对角线，并与对边相交。此时，垂线段与对角线的一部分（或整体）构成“十字架”，其长度关系仍可通过构造全等或相似来探究。

2.“十字架”的端点位于正方形的延长线上：

即线段的一端在正方形边上，另一端在边的延长线上，两条这样的线段在正方形外部或边界处垂直相交。这种情况下，虽然位置有所变化，但证明思路（如构造全等、利用平行转移等）依然具有借鉴意义，可能需要结合勾股定理或相似三角形来求解长度关系。

3.“十字架”的其中一条线段退化为一个点（顶点处的垂直）：

例如，正方形的一个顶点引出两条互相垂直的射线，分别与对边（或邻边）相交，形成一个“L”形，但因其根植于正方形且具备垂直关系，也可视为“十字架”模型的一种极端或简化形式。此时，常探讨所形成的两个三角形的关系（如全等、相似）。

4.多个“十字架”叠加或组合：

题目中可能出现不止一个“十字架”结构，需要综合运用其性质进行解题。

四、“十字架”模型在中考解题中的应用策略

掌握“十字架”模型的核心在于理解其“垂直”与“等长”（特定条件下）的内在联系，并能在复杂图形中准确识别和灵活运用。

1.识别模型是前提：

在审题时，要特别关注题目中是否存在“正方形”、“垂直”、“线段”等关键词。当图形中出现两条互相垂直的线段，且背景是正方形时，应立刻联想到“十字架”模型的可能性。

2.构造辅助线是关键：

当直接应用模型性质有困难时，构造恰当的辅助线是突破口。常用的辅助线作法包括：

*平移线段：将其中一条或两条线段平移，使其端点重合或与正方形的边产