构造相似三角形在几何证明中应用.pdfVIP

2．3构造相似

相似三角形可以看作是全等三角形的推广，利用相似三角形不但可以证明角、线段的等量关系，而且

还可以证明有关线段的比例关系．利用题中有关相似形的结论、性质，或添线“制造”相似形加以利用，

往往是解题的关键所在．

例1：已知M、N分别在正方形ABCD的边DA、AB上，且AM＝AN，过A作BM的垂线，垂足为

P．求证：∠APN＝∠BNC．

M

AD

P

N

BC

图2-3-1

【分析】BNC＝∠BPC，故只需证∠APN＝∠BPC，这可通过判定三角形相似来完成．

【证明】连结PC，

M

AD

14

3

P

N

2

5

BC

图2-3-1

在Rt△ABM中，AP⊥BM．所以∠1＝∠2，∠APM＝∠BPA＝90°，∠3＝∠4，故△APM∽△BPA．从

AMAP

而．

ABBP

ANAP

因为AB＝BC，AM＝AN，故．

BCBP

因为AD∥BC，所以∠4＝∠5，从而∠3＝∠5，所以△APN∽△BPC，

故∠APN＝∠BPC，∠ANP＝∠BCP，故N、B、C、P四点共圆．

进而∠BPC＝∠BNC，所以∠APN＝∠BNC．

【注】通过已有相似三角形和线段等量转换，构造新的相似三角形，是解题的关键．

BO7

例2：如图2－3－2：设点O是四边形ABCD对角线AC、BD的交点，且．若∠BAD＋∠BCA

DO6

＝180°，AB＝6，AC＝5，AD＝4．求BC的值．

2.3构造缩小

相似三角形可以缩短为全等三角形的推广，利用相似三角形可以证明角、线段的等量关系，并且还可以证

明有关线段的比例关系。利用题中有关相似形的结论、性质，或加线“制造”相似形的运用，往往是解题的关

键所在。

例1：已知M、N分别在支架A